Satz des PythagorasGeometrieMittelstufe≈ 1:33

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 17 und eine Kathete 8. Bestimme die andere Kathete

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Originalaufgabe (Englisch): Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 17 und eine Kathete 8. Bestimme die andere Kathete

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 17 und eine Kathete 8. Bestimme die andere Kathete
2. Schritte, Teil 1
1. $a^2 + b^2 = c^2 \;\Rightarrow\; b^2 = c^2 - a^2$
  Satz des Pythagoras nach einer Kathete umstellen
2. $b^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$
  Einsetzen und vereinfachen
3. $b = \sqrt{225} = 15$
  Die positive Quadratwurzel ziehen
4. $\text{Flächeninhalt} = \tfrac12ab \approx 60,\qquad P = a + b + c \approx 40$
  Flächeninhalt und Umfang
3. Schritte, Teil 2
1. $\angle A = \arctan\frac{a}{b} \approx 28.072487^\circ,\qquad \angle B = 90^\circ - \angle A \approx 61.927513^\circ$
  Spitze Winkel
4. Die Antwort
$b = 15$
b = 15
5. Probe
- Prüfung: a² + b² = 289 und c² = 289, was übereinstimmt.
- (8, 15, 17) ist ein pythagoreisches Tripel: Alle drei Seiten sind ganze Zahlen.
- Winkelsumme: 90° + 28.072487° + 61.927513° = 180°.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 17 und eine Kathete 8. Bestimme die andere Kathete. Bestimme die fehlende Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks aus der anderen Kathete und der Hypotenuse.

Schritte, Teil 1. Satz des Pythagoras nach einer Kathete umstellen. Einsetzen und vereinfachen. Die positive Quadratwurzel ziehen. Flächeninhalt und Umfang.

Schritte, Teil 2. Spitze Winkel. Winkel A liegt der Kathete a gegenüber und Winkel B liegt der Kathete b gegenüber; der rechte Winkel C ist 90°.

Die Antwort. Die Antwort lautet also b gleich 15; Flächeninhalt gleich 60; Umfang ungefähr 40; Winkel ungefähr 28.072487°, 61.927513°, 90°. In jedem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat über der Hypotenuse der Summe der Quadrate über den beiden Katheten. Die Kenntnis zweier Seiten legt die dritte fest, und die Winkel folgen aus dem Tangensverhältnis.

Probe. Prüfung: a hoch zwei plus b hoch zwei gleich 289 und c hoch zwei gleich 289, was übereinstimmt. (8, 15, 17) ist ein pythagoreisches Tripel: Alle drei Seiten sind ganze Zahlen. Winkelsumme: 90° plus 28.072487° plus 61.927513° gleich 180°.

Schritte auf dem Bildschirm

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