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Ableitung von (arctan(x²+x+1))(ln(eˣ+1))

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right]$
2. Schritte, Teil 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
2. $\frac{d}{dx}\left[\ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Kettenregel — d/dx[ln u] = u′/u
3. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}$
  Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten
4. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}$
  Ableitung der Exponentialfunktion: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. Schritte, Teil 2
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)\right] = \frac{2x+1}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}$
  Kettenregel — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
2. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Potenzregel: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
4. Schritte, Teil 3
1. $f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Zusammenfassen und vereinfachen
5. Die Antwort
$f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1)
6. Probe
- Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Ableitung von (arctan(x hoch zwei plus x plus 1))(ln(e hoch x plus 1)). Bestimme die Ableitung von (atan(x hoch zwei plus x plus 1)) (ln(e hoch x plus 1)) nach x.

Schritte, Teil 1. Produktregel: (uv) Strich gleich u Strich v plus uv Strich. Kettenregel — d nach d x[ln u] gleich u Strich /u. Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten. Ableitung der Exponentialfunktion: d nach d x[eᵘ] gleich eᵘ mal u Strich.

Schritte, Teil 2. Kettenregel — d nach d x[arctan u] gleich u Strich /(1 plus u hoch zwei). Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten. Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten. Potenzregel: d nach d x[x hoch n] gleich n mal x hoch n minus 1.

Schritte, Teil 3. Zusammenfassen und vereinfachen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also f Strich von x gleich (2x plus 1) mal ln(e hoch x plus 1) / ((x hoch zwei plus x plus 1) hoch zwei plus 1) plus atan(x hoch zwei plus x plus 1) mal e hoch x / (e hoch x plus 1). Die Ableitung wird von außen nach innen gebildet: Summen werden in Summanden zerlegt, konstante Faktoren bleiben stehen, für Produkte und Quotienten gelten eigene Regeln, und jede verkettete Funktion wird mit der Ableitung ihrer inneren Funktion multipliziert (Kettenregel).

Probe. Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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