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Aufgabe lösen
AbleitungenAnalysisHochschule≈ 0:58

Bestimme die Ableitung von 1/(x² + 1)

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: f'(x) = -(2x / (x² + 1)²).

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.4 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    ddx[1x2+1]\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{{x}^{2}+1}\right]
  2. 2. Schritt für Schritt
    1. ddx[1x2+1]=−2x(x2+1)2\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{{x}^{2}+1}\right] = -\frac{2x}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}}
      Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
    2. ddx[x2+1]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x
      Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten
    3. ddx[x2]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x
      Potenzregel: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
    4. f′(x)=−2x(x2+1)2f'(x) = -\frac{2x}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}}
      Zusammenfassen und vereinfachen
  3. 3. Die Antwort
    f′(x)=−2x(x2+1)2f'(x) = -\frac{2x}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}}

    f'(x) = -(2x / (x² + 1)²)

  4. 4. Probe
    • Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme die Ableitung von 1/(x hoch zwei plus 1). Bestimme die Ableitung von 1 / (x hoch zwei plus 1) nach x.

Schritt für Schritt. Quotientenregel: (u/v) Strich gleich (u Strich v minus uv Strich )/v hoch zwei. Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten. Potenzregel: d nach d x[x hoch n] gleich n mal x hoch n minus 1. Zusammenfassen und vereinfachen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also f Strich von x gleich -(2x / (x hoch zwei plus 1) hoch zwei). Die Ableitung wird von außen nach innen gebildet: Summen werden in Summanden zerlegt, konstante Faktoren bleiben stehen, für Produkte und Quotienten gelten eigene Regeln, und jede verkettete Funktion wird mit der Ableitung ihrer inneren Funktion multipliziert (Kettenregel).

Probe. Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen, das stimmt.

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