AbleitungenAnalysisHochschule≈ 1:33

Ableitung von ((x²+1)³/(e^(x³)

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\frac{d}{dx}\left[\frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{3}}{{e}^{{x}^{3}}}\right]$
2. Schritte, Teil 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{3}}{{e}^{{x}^{3}}}\right] = \frac{6 {\left({x}^{2}+1\right)}^{2} x-3 {\left({x}^{2}+1\right)}^{3} {x}^{2}}{{e}^{{x}^{3}}}$
  Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
2. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{{x}^{3}}\right] = 3{e}^{{x}^{3}} {x}^{2}$
  Ableitung der Exponentialfunktion: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{3}\right] = 3{x}^{2}$
  Potenzregel: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
4. $\frac{d}{dx}\left[{\left({x}^{2}+1\right)}^{3}\right] = 6 {\left({x}^{2}+1\right)}^{2} x$
  Potenzregel mit Kettenregel: d/dx[uⁿ] = n·uⁿ⁻¹·u′
3. Schritte, Teil 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x$
  Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten
2. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Potenzregel: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
3. $f'(x) = \frac{6 {\left({x}^{2}+1\right)}^{2} x-3 {\left({x}^{2}+1\right)}^{3} {x}^{2}}{{e}^{{x}^{3}}}$
  Zusammenfassen und vereinfachen
4. Die Antwort
$f'(x) = \frac{6 {\left({x}^{2}+1\right)}^{2} x-3 {\left({x}^{2}+1\right)}^{3} {x}^{2}}{{e}^{{x}^{3}}}$
f'(x) = (6(x² + 1)²x - 3(x² + 1)³x²) / e^x³
5. Probe
- Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Ableitung von ((x hoch zwei plus 1) hoch drei)/(e hoch x hoch drei)). Bestimme die Ableitung von ((x hoch zwei plus 1) hoch drei) / (e hoch x hoch drei)) nach x.

Schritte, Teil 1. Quotientenregel: (u/v) Strich gleich (u Strich v minus uv Strich )/v hoch zwei. Ableitung der Exponentialfunktion: d nach d x[eᵘ] gleich eᵘ mal u Strich. Potenzregel: d nach d x[x hoch n] gleich n mal x hoch n minus 1. Potenzregel mit Kettenregel: d nach d x[u hoch n] gleich n mal u hoch n minus 1 mal u Strich.

Schritte, Teil 2. Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten. Potenzregel: d nach d x[x hoch n] gleich n mal x hoch n minus 1. Zusammenfassen und vereinfachen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also f Strich von x gleich (6(x hoch zwei plus 1) hoch zweix minus 3(x hoch zwei plus 1) hoch dreix hoch zwei) / e hoch x hoch drei. Die Ableitung wird von außen nach innen gebildet: Summen werden in Summanden zerlegt, konstante Faktoren bleiben stehen, für Produkte und Quotienten gelten eigene Regeln, und jede verkettete Funktion wird mit der Ableitung ihrer inneren Funktion multipliziert (Kettenregel).

Probe. Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen, das stimmt.

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