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Aufgabe lösen
AbleitungenAnalysisHochschule≈ 0:53

Berechne die zweite Ableitung von ln(x)

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: f''(x) = -(1 / x²).

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.3 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    d2dx2[ln⁡(x)]\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left[\ln\left( x\right)\right]
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. ddx[ln⁡(x)]\frac{d}{dx}\left[\ln\left( x\right)\right]
      Ableitung Nummer 1
    2. ddx[ln⁡(x)]=1x\frac{d}{dx}\left[\ln\left( x\right)\right] = \frac{1}{x}
      d/dx[ln x] = 1/x
    3. f′(x)=1xf'(x) = \frac{1}{x}
      Die erste Ableitung vereinfachen
    4. ddx[1x]\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\right]
      Ableitung Nummer 2
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. ddx[1x]=−1x2\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\right] = -\frac{1}{{x}^{2}}
      Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
    2. f′′(x)=−1x2f''(x) = -\frac{1}{{x}^{2}}
      Die zweite Ableitung vereinfachen
  4. 4. Die Antwort
    f′′(x)=−1x2f''(x) = -\frac{1}{{x}^{2}}

    f''(x) = -(1 / x²)

  5. 5. Probe
    • Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Berechne die zweite Ableitung von ln(x). Bestimme die zweite Ableitung von ln(x) nach x.

Schritte, Teil 1. Ableitung Nummer 1. d nach d x[ln x] gleich 1/x. Die erste Ableitung vereinfachen. Ableitung Nummer 2.

Schritte, Teil 2. Quotientenregel: (u/v) Strich gleich (u Strich v minus uv Strich )/v hoch zwei. Die zweite Ableitung vereinfachen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also f Strich Strich (x) gleich -(1 / x hoch zwei). Die Ableitung wird von außen nach innen gebildet: Summen werden in Summanden zerlegt, konstante Faktoren bleiben stehen, für Produkte und Quotienten gelten eigene Regeln, und jede verkettete Funktion wird mit der Ableitung ihrer inneren Funktion multipliziert (Kettenregel).

Probe. Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen, das stimmt.

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