AbleitungenAnalysisHochschule≈ 1:14

Bestimme d/dx((x² - 1)³ (x + 2))

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\frac{d}{dx}\left[{\left({x}^{2}-1\right)}^{3} \left( x+2\right)\right]$
2. Schritte, Teil 1
1. $\frac{d}{dx}\left[{\left({x}^{2}-1\right)}^{3} \left( x+2\right)\right] = 6 {\left({x}^{2}-1\right)}^{2} x \left( x+2\right)+{\left({x}^{2}-1\right)}^{3}$
  Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
2. $\frac{d}{dx}\left[ x+2\right] = 1$
  Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten
3. $\frac{d}{dx}\left[{\left({x}^{2}-1\right)}^{3}\right] = 6 {\left({x}^{2}-1\right)}^{2} x$
  Potenzregel mit Kettenregel: d/dx[uⁿ] = n·uⁿ⁻¹·u′
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}-1\right] = 2x$
  Differenzregel: jeden Summanden einzeln ableiten
3. Schritte, Teil 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Potenzregel: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
2. $f'(x) = 6 {\left({x}^{2}-1\right)}^{2} x \left( x+2\right)+{\left({x}^{2}-1\right)}^{3}$
  Zusammenfassen und vereinfachen
4. Die Antwort
$f'(x) = 6 {\left({x}^{2}-1\right)}^{2} x \left( x+2\right)+{\left({x}^{2}-1\right)}^{3}$
f'(x) = 6(x² - 1)²x(x + 2) + (x² - 1)³
5. Probe
- Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme d nach d x((x hoch zwei minus 1) hoch drei (x plus 2)). Bestimme die Ableitung von ((x hoch zwei minus 1) hoch drei (x plus 2)) nach x.

Schritte, Teil 1. Produktregel: (uv) Strich gleich u Strich v plus uv Strich. Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten. Potenzregel mit Kettenregel: d nach d x[u hoch n] gleich n mal u hoch n minus 1 mal u Strich. Differenzregel: jeden Summanden einzeln ableiten.

Schritte, Teil 2. Potenzregel: d nach d x[x hoch n] gleich n mal x hoch n minus 1. Zusammenfassen und vereinfachen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also f Strich von x gleich 6(x hoch zwei minus 1) hoch zweix(x plus 2) plus (x hoch zwei minus 1) hoch drei. Die Ableitung wird von außen nach innen gebildet: Summen werden in Summanden zerlegt, konstante Faktoren bleiben stehen, für Produkte und Quotienten gelten eigene Regeln, und jede verkettete Funktion wird mit der Ableitung ihrer inneren Funktion multipliziert (Kettenregel).

Probe. Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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