Berechne die Summe von 1/n von n=1 bis ∞

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Berechne die Summe von 1/n von n gleich 1 bis Unendlichkeit. Entscheide, ob Σ 1 / n (n von 1 bis ∞) konvergiert oder divergiert.

Schritt für Schritt. Die Reihe aufschreiben. Σ a(n) für n gleich 1, 2, 3, … mit a(n) gleich 1 / n. Erste Glieder: 1, 0.5, 0.333333, 0.25, …. Nullfolgenkriterium. lim a(n) gleich 0, daher liefert das Divergenzkriterium keine Entscheidung; die Glieder werden zwar kleiner, aber ein feineres Kriterium ist nötig. Grenzwertkriterium mit einer p-Reihe. Positive Terme: die Terme schrumpfen ungefähr wie 1/n (geschätzt aus a(2N)/a(N)), also vergleiche mit Σ 1/n: lim a(n) mal n gleich 1. Der Grenzwert ist eine positive endliche Zahl, also verhält sich die Reihe exakt wie die p-Reihe Σ 1/n, welche divergiert, da p kleiner oder gleich 1.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Die Reihe divergiert (Grenzwertvergleich mit Σ 1/n). Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl gehen. Dafür müssen die Glieder gegen 0 gehen, doch das allein reicht nicht (die harmonische Reihe divergiert), deshalb entscheidet ein Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel-, Leibniz- oder Integralkriterium.

Probe. Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ gleich 2.9289683, S₁₀₀ gleich 5.1873775, S₁₀₀₀ gleich 7.4854709, S₁₀₀₀₀ gleich 9.787606.