Folgen und ReihenAlgebraHochschule≈ 1:56

Berechne die Summe von (-1)ⁿ/2ⁿ von n=0 bis ∞

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}}$
2. Schritt für Schritt
1. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}}$
  Die Reihe aufschreiben
2. $S = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{3}$
  Eine geometrische Reihe erkennen
3. Die Antwort
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}} \ \text{konvergiert} = \frac{2}{3}$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 2/3
4. Probe
- Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ = 0.66601563, S₁₀₀ = 0.66666667, S₁₀₀₀ = 0.66666667, S₁₀₀₀₀ = 0.66666667

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Berechne die Summe von (minus 1) hoch n/2 hoch n von n gleich 0 bis Unendlichkeit. Entscheide, ob Σ (minus 1) hoch n / 2 hoch n (n von 0 bis ∞) konvergiert oder divergiert.

Schritt für Schritt. Die Reihe aufschreiben. Σ a(n) für n gleich 0, 1, 2, … mit a(n) gleich (minus 1) hoch n / 2 hoch n. Erste Glieder: 1, minus 0.5, 0.25, minus 0.125, …. Eine geometrische Reihe erkennen. Jedes Glied ist das vorherige mal r gleich minus 1 durch 2 (geprüft für die ersten 40 Glieder), mit Anfangsglied a gleich 1. Da |r| kleiner als 1, konvergiert die Reihe, und ihre Summe ist a/(1 minus r) gleich 2 durch 3 ungefähr 0.6666666667.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Die Reihe konvergiert (geometrische Reihe (|r| kleiner als 1)); Summe gleich 2 durch 3. Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl gehen. Dafür müssen die Glieder gegen 0 gehen, doch das allein reicht nicht (die harmonische Reihe divergiert), deshalb entscheidet ein Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel-, Leibniz- oder Integralkriterium.

Probe. Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ gleich 0.66601563, S₁₀₀ gleich 0.66666667, S₁₀₀₀ gleich 0.66666667, S₁₀₀₀₀ gleich 0.66666667.

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