Berechne die Summe von n/2ⁿ von n=1 bis ∞

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Berechne die Summe von n/2 hoch n von n gleich 1 bis Unendlichkeit. Entscheide, ob Σ n / 2 hoch n (n von 1 bis ∞) konvergiert oder divergiert.

Schritt für Schritt. Die Reihe aufschreiben. Σ a(n) für n gleich 1, 2, 3, … mit a(n) gleich n / 2 hoch n. Erste Glieder: 0.5, 0.5, 0.375, 0.25, …. Nullfolgenkriterium. lim a(n) gleich 0, daher liefert das Divergenzkriterium keine Entscheidung; die Glieder werden zwar kleiner, aber ein feineres Kriterium ist nötig. Quotientenkriterium. Positive Glieder: a(n plus 1)/a(n) vereinfacht sich zu (n plus 1) / 2 / n, und der Grenzwert für n → ∞ ist L gleich 1 durch 2. L kleiner als 1, also konvergiert die Reihe (absolut). Die Summe numerisch schätzen. Die Partialsummen S N wurden für mehrere N berechnet und auf N → ∞ extrapoliert (Richardson-Extrapolation; bei alternierenden Gliedern wird zuerst gemittelt). Zwei unabhängige Extrapolationen stimmen besser als 10 hoch minus 10 überein und ergeben S ungefähr 2. Eine angezeigte geschlossene Form ist eine numerische Zuordnung, kein Beweis.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Die Reihe konvergiert (Quotientenkriterium); Summe ungefähr 2 (stimmt überein 2 auf 10+ Stellen). Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl gehen. Dafür müssen die Glieder gegen 0 gehen, doch das allein reicht nicht (die harmonische Reihe divergiert), deshalb entscheidet ein Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel-, Leibniz- oder Integralkriterium.

Probe. Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ gleich 1.9882813, S₁₀₀ gleich 2, S₁₀₀₀ gleich 2, S₁₀₀₀₀ gleich 2.