Folgen und ReihenAlgebraHochschule≈ 1:23

Berechne die Summe von (1/2)ⁿ von n=0 bis ∞

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1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{1}{2}}\right)^{n}$
2. Schritt für Schritt
1. $\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{1}{2}}\right)^{n}$
  Die Reihe aufschreiben
2. $S = \frac{a}{1-r} = 2$
  Eine geometrische Reihe erkennen
3. Die Antwort
$\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{1}{2}}\right)^{n} \ \text{konvergiert} = 2$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 2
4. Probe
- Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ = 1.9980469, S₁₀₀ = 2, S₁₀₀₀ = 2, S₁₀₀₀₀ = 2

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Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Berechne die Summe von (1 durch 2) hoch n von n gleich 0 bis Unendlichkeit. Entscheide, ob Σ (1 durch 2) hoch n (n von 0 bis ∞) konvergiert oder divergiert.

Schritt für Schritt. Die Reihe aufschreiben. Σ a(n) für n gleich 0, 1, 2, … mit a(n) gleich (1 durch 2) hoch n. Erste Glieder: 1, 0.5, 0.25, 0.125, …. Eine geometrische Reihe erkennen. Jedes Glied ist das vorherige mal r gleich 1 durch 2 (geprüft für die ersten 40 Glieder), mit Anfangsglied a gleich 1. Da |r| kleiner als 1, konvergiert die Reihe, und ihre Summe ist a/(1 minus r) gleich 2.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Die Reihe konvergiert (geometrische Reihe (|r| kleiner als 1)); Summe gleich 2. Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl gehen. Dafür müssen die Glieder gegen 0 gehen, doch das allein reicht nicht (die harmonische Reihe divergiert), deshalb entscheidet ein Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel-, Leibniz- oder Integralkriterium.

Probe. Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ gleich 1.9980469, S₁₀₀ gleich 2, S₁₀₀₀ gleich 2, S₁₀₀₀₀ gleich 2.

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