Ausmultiplizieren und FaktorisierenAlgebraOberstufe≈ 1:17

Faktorisiere x⁴ - 5x² + 4

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$x^{4} - 5x^{2} + 4$
2. Schritte, Teil 1
1. $x^{4} - 5x^{2} + 4$
  Das Polynom in geordneter Normalform schreiben
2. Den Satz über rationale Nullstellen anwenden
3. $x^{4} - 5x^{2} + 4 = (x + 2)\left(x^{3} - 2x^{2} - x + 2\right)$
  Durch (x + 2) teilen, mit dem Horner-Schema bei x = -2
4. $x^{3} - 2x^{2} - x + 2 = (x + 1)\left(x^{2} - 3x + 2\right)$
  Durch (x + 1) teilen, mit dem Horner-Schema bei x = -1
3. Schritte, Teil 2
1. $x^{2} - 3x + 2 = (x - 1)\left(x - 2\right)$
  Durch (x - 1) teilen, mit dem Horner-Schema bei x = 1
2. $x - 2 = (x - 2)\left(1\right)$
  Durch (x - 2) teilen, mit dem Horner-Schema bei x = 2
3. $(x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2)$
  Die vollständige Faktorisierung schreiben
4. Die Antwort
$(x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2)$
x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2)
5. Probe
- Ausmultiplizieren von (x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2) ergibt wieder x^4 - 5x^2 + 4.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: x hoch 4 minus 5x hoch zwei plus 4. Ein Polynom über den rationalen Zahlen faktorisieren.

Schritte, Teil 1. Das Polynom in geordneter Normalform schreiben. Den Satz über rationale Nullstellen anwenden. Für jede rationale Nullstelle p/q teilt p das Absolutglied 4 und q den Leitkoeffizienten 1. Das Testen dieser Kandidaten liefert die Nullstellen minus 2, minus 1, 1, 2. Durch (x plus 2) teilen, mit dem Horner-Schema bei x gleich minus 2. Durch (x plus 1) teilen, mit dem Horner-Schema bei x gleich minus 1.

Schritte, Teil 2. Durch (x minus 1) teilen, mit dem Horner-Schema bei x gleich 1. Durch (x minus 2) teilen, mit dem Horner-Schema bei x gleich 2. Die vollständige Faktorisierung schreiben.

Die Antwort. Die Antwort lautet also (x minus 2)(x minus 1)(x plus 1)(x plus 2). x hoch 4 minus 5x hoch zwei plus 4 zerfällt über den rationalen Zahlen vollständig in (x minus 2)(x minus 1)(x plus 1)(x plus 2).

Probe. Ausmultiplizieren von (x minus 2)(x minus 1)(x plus 1)(x plus 2) ergibt wieder x hoch 4 minus 5x hoch zwei plus 4.

Schritte auf dem Bildschirm

Transkript

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