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Aufgabe lösen
EinheitskreisTrigonometrieOberstufe≈ 1:25

Bestimme sin, cos und tan von 2π/3 am Einheitskreis

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: (cos θ, sin θ) = (−1/2, √3/2); tan θ = −√3.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Originalaufgabe (Englisch): Bestimme sin, cos und tan von 2π/3 am Einheitskreis

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.6 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    Bestimme sin, cos und tan von 2π/3 am Einheitskreis
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. θ=120∘=2π3 rad\theta = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}\ \text{rad}
      Bogenmaß in Grad umrechnen (mit 180/π) multiplizieren
    2. Lage des freien Schenkels: im II. Quadranten
    3. θBezug=60∘\theta_{\text{Bezug}} = 60^\circ
      Bezugswinkel (spitzer Winkel zur x-Achse)
    4. (cos⁡θ,sin⁡θ)=(−12, 32)(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
      Die exakten Koordinaten am Bezugswinkel ablesen und die Vorzeichen des Quadranten anwenden
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−3\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\sqrt{3}
      Tangens = Sinus ÷ Kosinus
    2. csc⁡θ=233,sec⁡θ=−2,cot⁡θ=−33\csc\theta = \frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \sec\theta = -2,\quad \cot\theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}
      Kehrwertfunktionen
  4. 4. Die Antwort
    (cos⁡θ,sin⁡θ)=(−12, 32)(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

    sin θ = √3/2, cos θ = −1/2, tan θ = −√3

  5. 5. Probe
    • cos²θ + sin²θ = 1 (muss gleich 1) sein.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme sin, cos und tan von 2pi/3 am Einheitskreis. Werte am Einheitskreis für 120° (2pi/3 rad).

Schritte, Teil 1. Bogenmaß in Grad umrechnen (mit 180/pi) multiplizieren. Lage des freien Schenkels: im II. Quadranten. Im II. Quadranten ist der Sinus positiv und der Kosinus negativ (Vorzeichenregel der Quadranten). Bezugswinkel (spitzer Winkel zur x-Achse). Die exakten Koordinaten am Bezugswinkel ablesen und die Vorzeichen des Quadranten anwenden.

Schritte, Teil 2. Tangens gleich Sinus geteilt durch Kosinus. Kehrwertfunktionen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also (cos theta, sin theta) gleich (minus 1 durch 2, die Wurzel aus 3 durch 2; tan theta gleich minus die Wurzel aus 3. 120° (2pi/3 rad) endet im II. Quadranten mit dem Bezugswinkel 60°. sin theta gleich die Wurzel aus 3 durch 2, cos theta gleich minus 1 durch 2, tan theta gleich minus die Wurzel aus 3, csc theta gleich 2die Wurzel aus 3 durch 3, sec theta gleich minus 2, cot theta gleich minus die Wurzel aus 3 durch 3.

Probe. cos hoch zweitheta plus sin hoch zweitheta gleich 1 (muss gleich 1) sein.

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