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Aufgabe lösen
EinheitskreisTrigonometrieOberstufe≈ 1:25

Bestimme sin, cos und tan von 5π/4 am Einheitskreis

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: (cos θ, sin θ) = (−√2/2, −√2/2); tan θ = 1.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Originalaufgabe (Englisch): Bestimme sin, cos und tan von 5π/4 am Einheitskreis

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.6 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    Bestimme sin, cos und tan von 5π/4 am Einheitskreis
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. θ=225∘=5π4 rad\theta = 225^\circ = \frac{5\pi}{4}\ \text{rad}
      Bogenmaß in Grad umrechnen (mit 180/π) multiplizieren
    2. Lage des freien Schenkels: im III. Quadranten
    3. θBezug=45∘\theta_{\text{Bezug}} = 45^\circ
      Bezugswinkel (spitzer Winkel zur x-Achse)
    4. (cos⁡θ,sin⁡θ)=(−22, −22)(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
      Die exakten Koordinaten am Bezugswinkel ablesen und die Vorzeichen des Quadranten anwenden
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=1\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 1
      Tangens = Sinus ÷ Kosinus
    2. csc⁡θ=−2,sec⁡θ=−2,cot⁡θ=1\csc\theta = -\sqrt{2},\quad \sec\theta = -\sqrt{2},\quad \cot\theta = 1
      Kehrwertfunktionen
  4. 4. Die Antwort
    (cos⁡θ,sin⁡θ)=(−22, −22)(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

    sin θ = −√2/2, cos θ = −√2/2, tan θ = 1

  5. 5. Probe
    • cos²θ + sin²θ = 1 (muss gleich 1) sein.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme sin, cos und tan von 5pi/4 am Einheitskreis. Werte am Einheitskreis für 225° (5pi/4 rad).

Schritte, Teil 1. Bogenmaß in Grad umrechnen (mit 180/pi) multiplizieren. Lage des freien Schenkels: im III. Quadranten. Im III. Quadranten sind Sinus und Kosinus beide negativ (Vorzeichenregel der Quadranten). Bezugswinkel (spitzer Winkel zur x-Achse). Die exakten Koordinaten am Bezugswinkel ablesen und die Vorzeichen des Quadranten anwenden.

Schritte, Teil 2. Tangens gleich Sinus geteilt durch Kosinus. Kehrwertfunktionen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also (cos theta, sin theta) gleich (minus die Wurzel aus 2 durch 2, minus die Wurzel aus 2 durch 2; tan theta gleich 1. 225° (5pi/4 rad) endet im III. Quadranten mit dem Bezugswinkel 45°. sin theta gleich minus die Wurzel aus 2 durch 2, cos theta gleich minus die Wurzel aus 2 durch 2, tan theta gleich 1, csc theta gleich minus die Wurzel aus 2, sec theta gleich minus die Wurzel aus 2, cot theta gleich 1.

Probe. cos hoch zweitheta plus sin hoch zweitheta gleich 1 (muss gleich 1) sein.

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