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Aufgabe lösen
EinheitskreisTrigonometrieOberstufe≈ 1:35

Bestimme sin, cos und tan von -60° am Einheitskreis

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: (cos θ, sin θ) = (1/2, −√3/2); tan θ = −√3.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Originalaufgabe (Englisch): Bestimme sin, cos und tan von -60° am Einheitskreis

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.6 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    Bestimme sin, cos und tan von -60° am Einheitskreis
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. θ=−60∘=−π3 rad\theta = -60^\circ = -\frac{\pi}{3}\ \text{rad}
      Grad in Bogenmaß umrechnen (mit π/180) multiplizieren
    2. 300∘300^\circ
      Den gleichwertigen Winkel zwischen 0° und 360° bestimmen
    3. Lage des freien Schenkels: im IV. Quadranten
    4. θBezug=60∘\theta_{\text{Bezug}} = 60^\circ
      Bezugswinkel (spitzer Winkel zur x-Achse)
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. (cos⁡θ,sin⁡θ)=(12, −32)(\cos\theta, \sin\theta) = \left(\frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
      Die exakten Koordinaten am Bezugswinkel ablesen und die Vorzeichen des Quadranten anwenden
    2. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−3\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\sqrt{3}
      Tangens = Sinus ÷ Kosinus
    3. csc⁡θ=−233,sec⁡θ=2,cot⁡θ=−33\csc\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \sec\theta = 2,\quad \cot\theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}
      Kehrwertfunktionen
  4. 4. Die Antwort
    (cos⁡θ,sin⁡θ)=(12, −32)(\cos\theta, \sin\theta) = \left(\frac{1}{2},\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

    sin θ = −√3/2, cos θ = 1/2, tan θ = −√3

  5. 5. Probe
    • cos²θ + sin²θ = 1 (muss gleich 1) sein.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme sin, cos und tan von minus 60° am Einheitskreis. Werte am Einheitskreis für minus 60°.

Schritte, Teil 1. Grad in Bogenmaß umrechnen (mit pi/180) multiplizieren. Den gleichwertigen Winkel zwischen 0° und 360° bestimmen. Volle Umdrehungen von 360° (2pi) addieren oder subtrahieren; die trigonometrischen Werte wiederholen sich nach jeder vollen Umdrehung. Lage des freien Schenkels: im IV. Quadranten. Im IV. Quadranten ist der Sinus negativ und der Kosinus positiv (Vorzeichenregel der Quadranten). Bezugswinkel (spitzer Winkel zur x-Achse).

Schritte, Teil 2. Die exakten Koordinaten am Bezugswinkel ablesen und die Vorzeichen des Quadranten anwenden. Tangens gleich Sinus geteilt durch Kosinus. Kehrwertfunktionen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also (cos theta, sin theta) gleich (1 durch 2, minus die Wurzel aus 3 durch 2; tan theta gleich minus die Wurzel aus 3. minus 60° (-pi/3 rad) endet im IV. Quadranten mit dem Bezugswinkel 60°. sin theta gleich minus die Wurzel aus 3 durch 2, cos theta gleich 1 durch 2, tan theta gleich minus die Wurzel aus 3, csc theta gleich minus 2die Wurzel aus 3 durch 3, sec theta gleich 2, cot theta gleich minus die Wurzel aus 3 durch 3.

Probe. cos hoch zweitheta plus sin hoch zweitheta gleich 1 (muss gleich 1) sein.

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