Bestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 1:03

Integriere x/(x²+1) von 0 bis 1

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\int_{0}^{1} \frac{x}{{x}^{2}+1}\,dx$
2. Schritt für Schritt
1. $\int_{0}^{1} \frac{x}{{x}^{2}+1}\,dx$
  Mit dem bestimmten Integral beginnen
2. $\int \frac{x}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\ln\left(\left|{x}^{2}+1\right|\right)}{2}$
  Logarithmusregel: Der Zähler ist ein konstantes Vielfaches der Ableitung des Nenners, ∫ u′/u dx = ln|u|
3. $F(x) = \frac{\ln\left(\left|{x}^{2}+1\right|\right)}{2}$
  Stammfunktion
4. $F(1) - F(0) = 0.3465735903 - 0 = 0.3465735903$
  Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
3. Die Antwort
$\int_{0}^{1} \frac{x}{{x}^{2}+1}\,dx = 0.3465735903$
∫ from 0 to 1 = 0.3465735903
4. Probe
- Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen ✓
- Die adaptive Simpsonregel liefert 0.3465735903 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Integriere x/(x hoch zwei plus 1) von 0 bis 1. Berechne das bestimmte Integral von x / (x hoch zwei plus 1) von x gleich 0 bis x gleich 1.

Schritt für Schritt. Mit dem bestimmten Integral beginnen. Logarithmusregel: Der Zähler ist ein konstantes Vielfaches der Ableitung des Nenners, das Integral von u Strich /u dx gleich ln|u|. Stammfunktion. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

Die Antwort. Die Antwort lautet also 0.3465735903. Ein bestimmtes Integral liefert die orientierte Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche unterhalb zählt negativ.

Probe. Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen, das stimmt. Die adaptive Simpsonregel liefert 0.3465735903, das stimmt.

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