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Aufgabe lösen
Bestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 1:06

Integriere x²sin(x) von -3 bis 4

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: -4.680076795.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.5 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    ∫−34x2sin⁡(x) dx\int_{-3}^{4} {x}^{2} \sin\left( x\right)\,dx
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. ∫−34x2sin⁡(x) dx\int_{-3}^{4} {x}^{2} \sin\left( x\right)\,dx
      Mit dem bestimmten Integral beginnen
    2. ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du
      Partielle Integration (Tabellenverfahren)
    3. ∫x2sin⁡(x) dx=cos⁡(x)(2−x2)+2xsin⁡(x)\int {x}^{2} \sin\left( x\right)\,dx = \cos\left( x\right) \left(2-{x}^{2}\right)+2x \sin\left( x\right)
      Die Produkte mit abwechselnden Vorzeichen zusammenfassen
    4. F(x)=cos⁡(x)(2−x2)+2xsin⁡(x)F(x) = \cos\left( x\right) \left(2-{x}^{2}\right)+2x \sin\left( x\right)
      Stammfunktion
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. F(4)−F(−3)=3.09659073−7.776667525=−4.680076795F(4) - F(-3) = 3.09659073 - 7.776667525 = -4.680076795
      Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
  4. 4. Die Antwort
    ∫−34x2sin⁡(x) dx=−4.680076795\int_{-3}^{4} {x}^{2} \sin\left( x\right)\,dx = -4.680076795

    ∫ from -3 to 4 = -4.680076795

  5. 5. Probe
    • Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen ✓
    • Die adaptive Simpsonregel liefert -4.680076795 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Integriere x hoch 2sin(x) von minus 3 bis 4. Berechne das bestimmte Integral von x hoch zwei sin(x) von x gleich minus 3 bis x gleich 4.

Schritte, Teil 1. Mit dem bestimmten Integral beginnen. Partielle Integration (Tabellenverfahren). Differenziere das Polynom x hoch zwei bis es 0 erreicht, integriere sin(x) genauso oft und kombiniere mit alternierenden Vorzeichen. Die Produkte mit abwechselnden Vorzeichen zusammenfassen. Stammfunktion.

Schritte, Teil 2. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

Die Antwort. Die Antwort lautet also minus 4.680076795. Ein bestimmtes Integral liefert die orientierte Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche unterhalb zählt negativ.

Probe. Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen, das stimmt. Die adaptive Simpsonregel liefert minus 4.680076795, das stimmt.

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