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Aufgabe lösen
Bestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 0:56

Bestimmtes Integral von sin(x)² von 0 bis 2pi

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: 3.141592654 = π.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.4 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    ∫02πsin⁡(x)2 dx\int_{0}^{2\pi} {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx
  2. 2. Schritt für Schritt
    1. ∫02πsin⁡(x)2 dx\int_{0}^{2\pi} {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx
      Mit dem bestimmten Integral beginnen
    2. ∫sin⁡(x)2 dx=x2−sin⁡(2x)4\int {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx = \frac{x}{2}-\frac{\sin\left(2x\right)}{4}
      Potenzreduktionsformel: sin² u = (1 − cos 2u)/2
    3. F(x)=x2−sin⁡(2x)4F(x) = \frac{x}{2}-\frac{\sin\left(2x\right)}{4}
      Stammfunktion
    4. F(2π)−F(0)=3.141592654−0=3.141592654F(2\pi) - F(0) = 3.141592654 - 0 = 3.141592654
      Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
  3. 3. Die Antwort
    ∫02πsin⁡(x)2 dx=3.141592654\int_{0}^{2\pi} {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx = 3.141592654

    ∫ from 0 to 2π = 3.141592654 = π

  4. 4. Probe
    • Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen ✓
    • Die adaptive Simpsonregel liefert 3.141592654 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimmtes Integral von sin(x) hoch zwei von 0 bis 2pi. Berechne das bestimmte Integral von sin(x) hoch zwei von x gleich 0 bis x gleich 2pi.

Schritt für Schritt. Mit dem bestimmten Integral beginnen. Potenzreduktionsformel: sin hoch zwei u gleich (1 minus cos 2u)/2. Stammfunktion. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

Die Antwort. Die Antwort lautet also 3.141592654 gleich pi. Ein bestimmtes Integral liefert die orientierte Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche unterhalb zählt negativ.

Probe. Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen, das stimmt. Die adaptive Simpsonregel liefert 3.141592654, das stimmt.

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