Bestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 0:53

Integral von 1/x von 1 bis e

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx$
2. Schritte, Teil 1
1. $\int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx$
  Mit dem bestimmten Integral beginnen
2. $\int {x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  Kehrwertregel: ∫ 1/x dx = ln|x|
3. $\int 1{x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  Faktorregel: ∫ k·f dx = k∫ f dx
4. $F(x) = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  Stammfunktion
3. Schritte, Teil 2
1. $F( e) - F(1) = 1 - 0 = 1$
  Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
4. Die Antwort
$\int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx = 1$
∫ from 1 to e = 1
5. Probe
- Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen ✓
- Die adaptive Simpsonregel liefert 1 ✓

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Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Integral von 1/x von 1 bis e. Berechne das bestimmte Integral von 1 / x von x gleich 1 bis x gleich e.

Schritte, Teil 1. Mit dem bestimmten Integral beginnen. Kehrwertregel: das Integral von 1/x dx gleich ln|x|. Faktorregel: das Integral von k mal f dx gleich k das Integral von f dx. Stammfunktion.

Schritte, Teil 2. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

Die Antwort. Die Antwort lautet also 1. Ein bestimmtes Integral liefert die orientierte Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche unterhalb zählt negativ.

Probe. Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen, das stimmt. Die adaptive Simpsonregel liefert 1, das stimmt.

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