Bestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 1:09

Integriere x³-2x von 0 bis 4

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\int_{0}^{4} {x}^{3}-2x\,dx$
2. Schritte, Teil 1
1. $\int_{0}^{4} {x}^{3}-2x\,dx$
  Mit dem bestimmten Integral beginnen
2. $\int {x}^{3}\,dx = \frac{{x}^{4}}{4}$
  Potenzregel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. $\int x\,dx = \frac{{x}^{2}}{2}$
  Potenzregel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
4. $\int 2x\,dx = {x}^{2}$
  Faktorregel: ∫ k·f dx = k∫ f dx
3. Schritte, Teil 2
1. $\int {x}^{3}-2x\,dx = \frac{{x}^{4}}{4}-{x}^{2}$
  Summenregel: gliedweise integrieren
2. $F(x) = \frac{{x}^{4}}{4}-{x}^{2}$
  Stammfunktion
3. $F(4) - F(0) = 48 - 0 = 48$
  Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
4. Die Antwort
$\int_{0}^{4} {x}^{3}-2x\,dx = 48$
∫ from 0 to 4 = 48
5. Probe
- Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen ✓
- Die adaptive Simpsonregel liefert 48 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Integriere x hoch drei minus 2x von 0 bis 4. Berechne das bestimmte Integral von x hoch drei minus 2 x von x gleich 0 bis x gleich 4.

Schritte, Teil 1. Mit dem bestimmten Integral beginnen. Potenzregel: das Integral von x hoch n dx gleich x hoch n plus 1/(n plus 1). Potenzregel: das Integral von x hoch n dx gleich x hoch n plus 1/(n plus 1). Faktorregel: das Integral von k mal f dx gleich k das Integral von f dx.

Schritte, Teil 2. Summenregel: gliedweise integrieren. Stammfunktion. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

Die Antwort. Die Antwort lautet also 48. Ein bestimmtes Integral liefert die orientierte Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche unterhalb zählt negativ.

Probe. Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen, das stimmt. Die adaptive Simpsonregel liefert 48, das stimmt.

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