Bestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 1:05

Integriere x² + 1 von 1 bis 2

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\int_{1}^{2} {x}^{2}+1\,dx$
2. Schritte, Teil 1
1. $\int_{1}^{2} {x}^{2}+1\,dx$
  Mit dem bestimmten Integral beginnen
2. $\int {x}^{2}\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}$
  Potenzregel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. $\int 1\,dx = x$
  Konstantenregel: ∫ k dx = kx
4. $\int {x}^{2}+1\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}+ x$
  Summenregel: gliedweise integrieren
3. Schritte, Teil 2
1. $F(x) = \frac{{x}^{3}}{3}+ x$
  Stammfunktion
2. $F(2) - F(1) = 4.666666667 - 1.333333333 = \frac{10}{3} \approx 3.3333333$
  Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
4. Die Antwort
$\int_{1}^{2} {x}^{2}+1\,dx = \frac{10}{3} \approx 3.3333333$
∫ from 1 to 2 = 10/3 ≈ 3.3333333
5. Probe
- Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen ✓
- Die adaptive Simpsonregel liefert 3.333333333 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Integriere x hoch zwei plus 1 von 1 bis 2. Berechne das bestimmte Integral von x hoch zwei plus 1 von x gleich 1 bis x gleich 2.

Schritte, Teil 1. Mit dem bestimmten Integral beginnen. Potenzregel: das Integral von x hoch n dx gleich x hoch n plus 1/(n plus 1). Konstantenregel: das Integral von k dx gleich kx. Summenregel: gliedweise integrieren.

Schritte, Teil 2. Stammfunktion. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

Die Antwort. Die Antwort lautet also 10 durch 3 ungefähr 3.3333333. Ein bestimmtes Integral liefert die orientierte Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche unterhalb zählt negativ.

Probe. Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen, das stimmt. Die adaptive Simpsonregel liefert 3.333333333, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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