Bestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 1:16

Integriere 3x² - 2x von -1 bis 2

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\int_{-1}^{2} 3{x}^{2}-2x\,dx$
2. Schritte, Teil 1
1. $\int_{-1}^{2} 3{x}^{2}-2x\,dx$
  Mit dem bestimmten Integral beginnen
2. $\int {x}^{2}\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}$
  Potenzregel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. $\int 3{x}^{2}\,dx = {x}^{3}$
  Faktorregel: ∫ k·f dx = k∫ f dx
4. $\int x\,dx = \frac{{x}^{2}}{2}$
  Potenzregel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. Schritte, Teil 2
1. $\int 2x\,dx = {x}^{2}$
  Faktorregel: ∫ k·f dx = k∫ f dx
2. $\int 3{x}^{2}-2x\,dx = {x}^{3}-{x}^{2}$
  Summenregel: gliedweise integrieren
3. $F(x) = {x}^{3}-{x}^{2}$
  Stammfunktion
4. $F(2) - F(-1) = 4 - \left(-2\right) = 6$
  Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
4. Die Antwort
$\int_{-1}^{2} 3{x}^{2}-2x\,dx = 6$
∫ from -1 to 2 = 6
5. Probe
- Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen ✓
- Die adaptive Simpsonregel liefert 6 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Integriere 3x hoch zwei minus 2x von minus 1 bis 2. Berechne das bestimmte Integral von 3 x hoch zwei minus 2 x von x gleich minus 1 bis x gleich 2.

Schritte, Teil 1. Mit dem bestimmten Integral beginnen. Potenzregel: das Integral von x hoch n dx gleich x hoch n plus 1/(n plus 1). Faktorregel: das Integral von k mal f dx gleich k das Integral von f dx. Potenzregel: das Integral von x hoch n dx gleich x hoch n plus 1/(n plus 1).

Schritte, Teil 2. Faktorregel: das Integral von k mal f dx gleich k das Integral von f dx. Summenregel: gliedweise integrieren. Stammfunktion. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

Die Antwort. Die Antwort lautet also 6. Ein bestimmtes Integral liefert die orientierte Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche unterhalb zählt negativ.

Probe. Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen, das stimmt. Die adaptive Simpsonregel liefert 6, das stimmt.

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