GleichungssystemeAlgebraOberstufe≈ 1:11

Löse das System x + y = 3, 2x + 2y = 6

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\begin{cases} x+ y = 3 \\ 2x+2y = 6 \end{cases}$
2. Schritte, Teil 1
1. $\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}$
  Jede Gleichung in Normalform schreiben
2. $\begin{bmatrix}1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 6\end{bmatrix}$
  Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen
3. Gauß-Jordan-Verfahren
4. $R_{2} \to R_{2} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
  Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren
3. Schritte, Teil 2
1. $\begin{bmatrix}1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
  Reduzierte Zeilenstufenform
2. $x = 3 - t,\ y = t$
  y ist eine freie Variable
4. Die Antwort
$x = 3 - t,\ y = t$
x + y = 3; 2x + 2y = 6 ⇒ Infinitely many solutions: x = 3 - t, y = t (t any real number)
5. Probe
- Rang 1 < 2 Unbekannte ohne widersprüchliche Zeile, also ist die Lösungsmenge eine Schar mit 1 Parameter.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Löse das System x plus y gleich 3, 2x plus 2y gleich 6. 2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten (x, y).

Schritte, Teil 1. Jede Gleichung in Normalform schreiben. Alle Terme mit Variablen nach links und die Konstanten nach rechts bringen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen. Spalten: x, y | Konstante. Gauß-Jordan-Verfahren. Mit Zeilenumformungen jedes Pivotelement zu 1 machen und den Rest seiner Spalte eliminieren. Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren.

Schritte, Teil 2. Reduzierte Zeilenstufenform. y ist eine freie Variable. Es gibt 1 Pivotelement für 2 Unbekannte, also ist 1 Variable frei. Setze y gleich t und löse die Pivotzeilen nach den übrigen auf.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Unendlich viele Lösungen: x gleich 3 minus t, y gleich t (t jede reelle Zahl). Die Gleichungen sind linear abhängig, beschreiben also dieselbe Gerade/Ebene (oder einen Schnitt, der eine ganze Gerade ist), was unendlich viele Lösungen ergibt.

Probe. Rang 1 kleiner als 2 Unbekannte ohne widersprüchliche Zeile, also ist die Lösungsmenge eine Schar mit 1 Parameter.

Schritte auf dem Bildschirm

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