GleichungssystemeAlgebraOberstufe≈ 1:24

Löse das System x + y + z = 6, x - y + z = 2, 2x + y - z = 1

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\begin{cases} x+ y+ z = 6 \\ x- y+ z = 2 \\ 2x+ y- z = 1 \end{cases}$
2. Schritte, Teil 1
1. $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$
  Jede Gleichung in Normalform schreiben
2. $\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
  Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen
3. Gauß-Jordan-Verfahren
4. $R_{2} \to R_{2} - 1R_{1},\ R_{3} \to R_{3} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & -1 & -3 & -11\end{bmatrix}$
  Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren
3. Schritte, Teil 2
1. $R_{2} \to \tfrac{1}{-2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & -11\end{bmatrix}$
  R2 durch -2 teilen
2. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 1R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & -9\end{bmatrix}$
  Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren
3. $R_{3} \to \tfrac{1}{-3} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$
  R3 durch -3 teilen
4. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$
  Spalte 3 mit dem Pivotelement in R3 eliminieren
4. Schritte, Teil 3
1. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$
  Reduzierte Zeilenstufenform
2. $x = 1,\ y = 2,\ z = 3$
  Die eindeutige Lösung ablesen
5. Die Antwort
$x = 1,\ y = 2,\ z = 3$
x + y + z = 6; x - y + z = 2; 2x + y - z = 1 ⇒ x = 1, y = 2, z = 3
6. Probe
- Gleichung 1: x + y + z = 6 ✓
- Gleichung 2: x - y + z = 2 ✓
- Gleichung 3: 2x + y - z = 1 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Löse das System x plus y plus z gleich 6, x minus y plus z gleich 2, 2x plus y minus z gleich 1. 3 lineare Gleichungen mit 3 Unbekannten (x, y, z).

Schritte, Teil 1. Jede Gleichung in Normalform schreiben. Alle Terme mit Variablen nach links und die Konstanten nach rechts bringen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen. Spalten: x, y, z | Konstante. Gauß-Jordan-Verfahren. Mit Zeilenumformungen jedes Pivotelement zu 1 machen und den Rest seiner Spalte eliminieren. Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren.

Schritte, Teil 2. R2 durch minus 2 teilen. Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren. R3 durch minus 3 teilen. Spalte 3 mit dem Pivotelement in R3 eliminieren.

Schritte, Teil 3. Reduzierte Zeilenstufenform. Die eindeutige Lösung ablesen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich 1, y gleich 2, z gleich 3. Das System hat genau eine Lösung; setzt man sie ein, ist jede Gleichung erfüllt.

Probe. Gleichung 1: x plus y plus z gleich 6, das stimmt. Gleichung 2: x minus y plus z gleich 2, das stimmt. Gleichung 3: 2x plus y minus z gleich 1, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

Transkript

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