GleichungssystemeAlgebraOberstufe≈ 1:16

Löse das System 2x + 3y = 7, 4x + 6y = 14

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ 4x+6y = 14 \end{cases}$
2. Schritte, Teil 1
1. $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x + 6y = 14 \end{cases}$
  Jede Gleichung in Normalform schreiben
2. $\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 4 & 6 & 14\end{bmatrix}$
  Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen
3. Gauß-Jordan-Verfahren
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 4 & 6 & 14\end{bmatrix}$
  R1 durch 2 teilen
3. Schritte, Teil 2
1. $R_{2} \to R_{2} - 4R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
  Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren
2. $\begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
  Reduzierte Zeilenstufenform
3. $x = 7/2 - (3/2)t,\ y = t$
  y ist eine freie Variable
4. Die Antwort
$x = 7/2 - (3/2)t,\ y = t$
2x + 3y = 7; 4x + 6y = 14 ⇒ Infinitely many solutions: x = 7/2 - (3/2)t, y = t (t any real number)
5. Probe
- Rang 1 < 2 Unbekannte ohne widersprüchliche Zeile, also ist die Lösungsmenge eine Schar mit 1 Parameter.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Löse das System 2x plus 3y gleich 7, 4x plus 6y gleich 14. 2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten (x, y).

Schritte, Teil 1. Jede Gleichung in Normalform schreiben. Alle Terme mit Variablen nach links und die Konstanten nach rechts bringen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen. Spalten: x, y | Konstante. Gauß-Jordan-Verfahren. Mit Zeilenumformungen jedes Pivotelement zu 1 machen und den Rest seiner Spalte eliminieren. R1 durch 2 teilen.

Schritte, Teil 2. Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren. Reduzierte Zeilenstufenform. y ist eine freie Variable. Es gibt 1 Pivotelement für 2 Unbekannte, also ist 1 Variable frei. Setze y gleich t und löse die Pivotzeilen nach den übrigen auf.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Unendlich viele Lösungen: x gleich 7 durch 2 minus (3 durch 2)t, y gleich t (t jede reelle Zahl). Die Gleichungen sind linear abhängig, beschreiben also dieselbe Gerade/Ebene (oder einen Schnitt, der eine ganze Gerade ist), was unendlich viele Lösungen ergibt.

Probe. Rang 1 kleiner als 2 Unbekannte ohne widersprüchliche Zeile, also ist die Lösungsmenge eine Schar mit 1 Parameter.

Schritte auf dem Bildschirm

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