DerivadasCálculoUniversidad≈ 1:34

Derivada de ((2x)³/(arctan(x²+x+1))

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: f'(x) = (24x² + 8(-(2x⁴) - x³) / ((x² + x + 1)² + 1) / atan(x² + x + 1)) / atan(x² + x + 1).

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Pasos en pantalla

1. El problema
Ejemplo resuelto
$\frac{d}{dx}\left[\frac{{\left(2x\right)}^{3}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}\right]$
2. Pasos, parte 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\frac{{\left(2x\right)}^{3}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}\right] = \frac{24{x}^{2}+\frac{\frac{8 \left(-\left(2{x}^{4}\right)-{x}^{3}\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}$
  Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
2. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)\right] = \frac{2x+1}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}$
  Regla de la cadena — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  Regla de la suma: derivar cada término por separado
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  Regla de la suma: derivar cada término por separado
3. Pasos, parte 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Regla de la potencia: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
2. $\frac{d}{dx}\left[{\left(2x\right)}^{3}\right] = 24{x}^{2}$
  Regla de la potencia con la regla de la cadena: d/dx[uⁿ] = n·uⁿ⁻¹·u′
3. $\frac{d}{dx}\left[2x\right] = 2$
  Regla del factor constante
4. $f'(x) = \frac{24{x}^{2}+\frac{\frac{8 \left(-\left(2{x}^{4}\right)-{x}^{3}\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}$
  Reunir y simplificar
4. La respuesta
$f'(x) = \frac{24{x}^{2}+\frac{\frac{8 \left(-\left(2{x}^{4}\right)-{x}^{3}\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)}$
f'(x) = (24x² + 8(-(2x⁴) - x³) / ((x² + x + 1)² + 1) / atan(x² + x + 1)) / atan(x² + x + 1)
5. Comprobación
- Contrastado numéricamente con un derivador simbólico independiente en 8 puntos de muestra ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Derivada de ((2x) al cubo)/(arctan(x al cuadrado más x más 1)). Calcular la derivada de ((2x) al cubo) / (atan(x al cuadrado más x más 1)) con respecto a x.

Pasos, parte 1. Regla del cociente: (u/v) prima es igual a (u prima v menos uv prima )/v al cuadrado. Regla de la cadena — d sobre d x[arctan u] es igual a u prima /(1 más u al cuadrado). Regla de la suma: derivar cada término por separado. Regla de la suma: derivar cada término por separado.

Pasos, parte 2. Regla de la potencia: d sobre d x[x elevado a n] es igual a n por x elevado a n menos 1. Regla de la potencia con la regla de la cadena: d sobre d x[u elevado a n] es igual a n por u elevado a n menos 1 por u prima. Regla del factor constante. Reunir y simplificar.

La respuesta. Entonces, la respuesta es f prima de x es igual a (24x al cuadrado más 8(-(2x elevado a 4) menos x al cubo) / ((x al cuadrado más x más 1) al cuadrado más 1) / atan(x al cuadrado más x más 1)) / atan(x al cuadrado más x más 1). La derivada se construye de fuera hacia dentro: las sumas se separan en términos, las constantes salen como factor, los productos y los cocientes usan sus reglas y cada función compuesta se multiplica por la derivada de su interior (regla de la cadena).

Comprobación. Contrastado numéricamente con un derivador simbólico independiente en 8 puntos de muestra, y se cumple.

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