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Resolver un problema
LímitesCálculoUniversidad≈ 2:54

Halla lim x→0 (1 + x)^(1/x)

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: Límite = e ≈ 2.718281828.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (1.1 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    lim⁡x→0(1+x)1x\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}}
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. lim⁡x→0(1+x)1x=e lim⁡x→0[1xln⁡(1+x)]\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{\,\lim_{x \to 0} \left[\frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right)\right]}
      Indeterminación 1^∞: tomar logaritmos
    2. lim⁡x→01xln⁡(1+x)=lim⁡x→0ln⁡(x+1)x\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x}
      Indeterminación 0·∞: reescribir como cociente
    3. lim⁡x→0ln⁡(x+1)x=lim⁡x→01x+11\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1}
      Indeterminación 0/0: aplicar la regla de L'Hôpital
    4. lim⁡x→01x+11=lim⁡x→01x+1\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1}
      Simplificar
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. lim⁡x→01x+1=10+1=1\lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{0+1} = 1
      Sustitución directa
    2. lim⁡x→0(1+x)1x=e1=e\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{1} = e
      Aplicar la exponencial al resultado
  4. 4. La respuesta
    lim⁡x→0(1+x)1x=e≈2.718281828\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e \approx 2.718281828

    lim x→0 (1 + x)^(1 / x) = e ≈ 2.718281828

  5. 5. Comprobación
    • Los valores numéricos por la derecha coinciden: f(0.01) = 2.7048138, f(0.001) = 2.7169239, f(0.0001) = 2.7181459, f(0.00001) = 2.7182682 ✓
    • Los valores numéricos por la izquierda coinciden: f(-0.01) = 2.731999, f(-0.001) = 2.7196422, f(-0.0001) = 2.7184178, f(-0.00001) = 2.7182954 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla lim x- mayor que 0 (1 más x) elevado a 1/x). Calcular el límite de (1 más x) elevado a 1 / x) cuando x → 0.

Pasos, parte 1. Indeterminación 1^∞: tomar logaritmos. Escribe la potencia como e elevado a exponente por ln base); como eᵘ es continua, el límite es e elevado al límite del exponente. Indeterminación 0 por ∞: reescribir como cociente. Al pasar un factor al denominador como su inverso, 0 por ∞ se convierte en 0 entre 0 o ∞/∞. Indeterminación 0 entre 0: aplicar la regla de L prima Hôpital. Deriva el numerador y el denominador por separado (no es la regla del cociente). Simplificar.

Pasos, parte 2. Sustitución directa. La expresión es continua en x es igual a 0, así que el límite es igual a su valor en ese punto. Aplicar la exponencial al resultado.

La respuesta. Entonces, la respuesta es Límite es igual a e aproximadamente 2.718281828. Un límite describe el valor al que se acerca una función, no necesariamente el valor que toma. Cuando la sustitución da una indeterminación, la expresión se reescribe (regla de L prima Hôpital, conjugado o logaritmos) hasta que la sustitución funciona.

Comprobación. Los valores numéricos por la derecha coinciden: f(0.01) es igual a 2.7048138, f(0.001) es igual a 2.7169239, f(0.0001) es igual a 2.7181459, f(0.00001) es igual a 2.7182682, y se cumple. Los valores numéricos por la izquierda coinciden: f(menos 0.01) es igual a 2.731999, f(menos 0.001) es igual a 2.7196422, f(menos 0.0001) es igual a 2.7184178, f(menos 0.00001) es igual a 2.7182954, y se cumple.

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