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Resolver un problema
Integrales indefinidasCálculoUniversidad≈ 1:12

Integra cos(x)³

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: sin(x) - sin(x)³/3 + C.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.5 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    ∫cos⁡(x)3 dx\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. ∫cos⁡(x)3 dx\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx
      Partir de la integral
    2. cos3(x)=1cos⁡(x)sin⁡(x)0+−1cos⁡(x)sin⁡(x)2cos^{3}( x) = 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}+-1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{2}
      Potencia impar: escribir cos^3 u = cos u · (1 − sin² u)^1, luego sustituir u = sin
    3. ∫1cos⁡(x)sin⁡(x)0 dx=∫u0 du\int 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}\,dx = \int {u}^{0}\,du
      Sustituir u = sin(x), así que du = (cos(x)) dx
    4. ∫u0 du=u\int {u}^{0}\,du = u
      Regla de la potencia: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. ∫1cos⁡(x)sin⁡(x)0 dx=sin⁡(x)\int 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}\,dx = \sin\left( x\right)
      Deshacer la sustitución u = sin(x)
    2. ∫−1cos⁡(x)sin⁡(x)2 dx=−1∫u2 du\int -1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx = -1\int {u}^{2}\,du
      Sustituir u = sin(x), así que du = (cos(x)) dx
    3. ∫cos⁡(x)3 dx=sin⁡(x)−sin⁡(x)33\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx = \sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3}
      Integrar término a término
    4. ∫cos⁡(x)3 dx=sin⁡(x)−sin⁡(x)33+C\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx = \sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3} + C
      Simplificar y añadir la constante de integración
  4. 4. La respuesta
    sin⁡(x)−sin⁡(x)33+C\sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3} + C

    ∫ cos(x)³ dx = sin(x) - sin(x)³/3 + C

  5. 5. Comprobación
    • Se ha derivado el resultado y se ha comparado con el integrando en 8 puntos de muestra ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Integra cos(x) al cubo. Calcular la integral indefinida (primitiva) de cos(x) al cubo respecto de x.

Pasos, parte 1. Partir de la integral. Potencia impar: escribir cos al cubo u es igual a cos u por (1 menos sin al cuadrado u) elevado a 1, luego sustituir u es igual a sin. Sustituir u es igual a sin(x), así que du es igual a (cos(x)) dx. Regla de la potencia: la integral de x elevado a n dx es igual a x elevado a n más 1/(n más 1).

Pasos, parte 2. Deshacer la sustitución u es igual a sin(x). Sustituir u es igual a sin(x), así que du es igual a (cos(x)) dx. Integrar término a término. Simplificar y añadir la constante de integración.

La respuesta. Entonces, la respuesta es sin(x) menos sin(x) al cubo/3 más C. Una primitiva F cumple F prima de x es igual a f(x). Como la derivada de cualquier constante es 0, todas las primitivas difieren en una constante C.

Comprobación. Se ha derivado el resultado y se ha comparado con el integrando en 8 puntos de muestra, y se cumple.

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