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Resolver un problema
Sistemas de ecuacionesÁlgebraBachillerato≈ 1:27

Resuelve el sistema - 2y - 2z = 2, 2x + 2y - 3z = -14, 2y + 3z = 0

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: x = -1, y = -3, z = 2.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.6 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    {−2y−2z=22x+2y−3z=−142y+3z=0\begin{cases} -2y-2z = 2 \\ 2x+2y-3z = -14 \\ 2y+3z = 0 \end{cases}
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. {−2y−2z=22x+2y−3z=−142y+3z=0\begin{cases} -2y - 2z = 2 \\ 2x + 2y - 3z = -14 \\ 2y + 3z = 0 \end{cases}
      Escribir cada ecuación en forma general
    2. [0−2−2222−3−140230]\begin{bmatrix}0 & -2 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & -3 & -14 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end{bmatrix}
      Construir la matriz ampliada [A | b]
    3. Eliminación de Gauss-Jordan
    4. [22−3−140−2−220230]\begin{bmatrix}2 & 2 & -3 & -14 \\ 0 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end{bmatrix}
      Intercambiar R1 y R2
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. R1→12R1: [11−32−70−2−220230]R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & -\frac{3}{2} & -7 \\ 0 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end{bmatrix}
      Dividir R1 entre 2
    2. R2→1−2R2: [11−32−7011−10230]R_{2} \to \tfrac{1}{-2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & -\frac{3}{2} & -7 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end{bmatrix}
      Dividir R2 entre -2
    3. R1→R1−1R2, R3→R3−2R2: [10−52−6011−10012]R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} - 2R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & -\frac{5}{2} & -6 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}
      Anular la columna 2 con el pivote de R2
    4. R1→R1+52R3, R2→R2−1R3: [100−1010−30012]R_{1} \to R_{1} + \frac{5}{2} R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 1R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}
      Anular la columna 3 con el pivote de R3
  4. 4. Pasos, parte 3
    1. [100−1010−30012]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}
      Forma escalonada reducida
    2. x=−1, y=−3, z=2x = -1,\ y = -3,\ z = 2
      Leer la solución única
  5. 5. La respuesta
    x=−1, y=−3, z=2x = -1,\ y = -3,\ z = 2

    -2y - 2z = 2; 2x + 2y - 3z = -14; 2y + 3z = 0 ⇒ x = -1, y = -3, z = 2

  6. 6. Comprobación
    • Ecuación 1: -2y - 2z = 2 ✓
    • Ecuación 2: 2x + 2y - 3z = -14 ✓
    • Ecuación 3: 2y + 3z = 0 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Resuelve el sistema menos 2y menos 2z es igual a 2, 2x más 2y menos 3z es igual a menos 14, 2y más 3z es igual a 0. 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas (x, y, z).

Pasos, parte 1. Escribir cada ecuación en forma general. Pasar todos los términos con variables a la izquierda y las constantes a la derecha. Construir la matriz ampliada [A | b]. Columnas: x, y, z | término independiente. Eliminación de Gauss-Jordan. Usar operaciones de fila para que cada pivote sea 1 y anular el resto de su columna. Intercambiar R1 y R2.

Pasos, parte 2. Dividir R1 entre 2. Dividir R2 entre menos 2. Anular la columna 2 con el pivote de R2. Anular la columna 3 con el pivote de R3.

Pasos, parte 3. Forma escalonada reducida. Leer la solución única.

La respuesta. Entonces, la respuesta es x es igual a menos 1, y es igual a menos 3, z es igual a 2. El sistema tiene una única solución; al sustituirla se cumplen todas las ecuaciones.

Comprobación. Ecuación 1: menos 2y menos 2z es igual a 2, y se cumple. Ecuación 2: 2x más 2y menos 3z es igual a menos 14, y se cumple. Ecuación 3: 2y más 3z es igual a 0, y se cumple.

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