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Resolver un problema
Sistemas de ecuacionesÁlgebraBachillerato≈ 1:24

Resuelve el sistema x + y + z = 6, x - y + z = 2, 2x + y - z = 1

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: x = 1, y = 2, z = 3.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.6 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    {x+y+z=6x−y+z=22x+y−z=1\begin{cases} x+ y+ z = 6 \\ x- y+ z = 2 \\ 2x+ y- z = 1 \end{cases}
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. {x+y+z=6x−y+z=22x+y−z=1\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}
      Escribir cada ecuación en forma general
    2. [11161−11221−11]\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1\end{bmatrix}
      Construir la matriz ampliada [A | b]
    3. Eliminación de Gauss-Jordan
    4. R2→R2−1R1, R3→R3−2R1: [11160−20−40−1−3−11]R_{2} \to R_{2} - 1R_{1},\ R_{3} \to R_{3} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & -1 & -3 & -11\end{bmatrix}
      Anular la columna 1 con el pivote de R1
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. R2→1−2R2: [111601020−1−3−11]R_{2} \to \tfrac{1}{-2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & -11\end{bmatrix}
      Dividir R2 entre -2
    2. R1→R1−1R2, R3→R3+1R2: [1014010200−3−9]R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 1R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & -9\end{bmatrix}
      Anular la columna 2 con el pivote de R2
    3. R3→1−3R3: [101401020013]R_{3} \to \tfrac{1}{-3} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}
      Dividir R3 entre -3
    4. R1→R1−1R3: [100101020013]R_{1} \to R_{1} - 1R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}
      Anular la columna 3 con el pivote de R3
  4. 4. Pasos, parte 3
    1. [100101020013]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}
      Forma escalonada reducida
    2. x=1, y=2, z=3x = 1,\ y = 2,\ z = 3
      Leer la solución única
  5. 5. La respuesta
    x=1, y=2, z=3x = 1,\ y = 2,\ z = 3

    x + y + z = 6; x - y + z = 2; 2x + y - z = 1 ⇒ x = 1, y = 2, z = 3

  6. 6. Comprobación
    • Ecuación 1: x + y + z = 6 ✓
    • Ecuación 2: x - y + z = 2 ✓
    • Ecuación 3: 2x + y - z = 1 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Resuelve el sistema x más y más z es igual a 6, x menos y más z es igual a 2, 2x más y menos z es igual a 1. 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas (x, y, z).

Pasos, parte 1. Escribir cada ecuación en forma general. Pasar todos los términos con variables a la izquierda y las constantes a la derecha. Construir la matriz ampliada [A | b]. Columnas: x, y, z | término independiente. Eliminación de Gauss-Jordan. Usar operaciones de fila para que cada pivote sea 1 y anular el resto de su columna. Anular la columna 1 con el pivote de R1.

Pasos, parte 2. Dividir R2 entre menos 2. Anular la columna 2 con el pivote de R2. Dividir R3 entre menos 3. Anular la columna 3 con el pivote de R3.

Pasos, parte 3. Forma escalonada reducida. Leer la solución única.

La respuesta. Entonces, la respuesta es x es igual a 1, y es igual a 2, z es igual a 3. El sistema tiene una única solución; al sustituirla se cumplen todas las ecuaciones.

Comprobación. Ecuación 1: x más y más z es igual a 6, y se cumple. Ecuación 2: x menos y más z es igual a 2, y se cumple. Ecuación 3: 2x más y menos z es igual a 1, y se cumple.

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