رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله
دنباله‌ها و سری‌هاجبردانشگاه≈ 3:06

محاسبه مجموع (-1)ⁿ/n از n=1 تا ∞

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: سری همگرایی مشروط دارد (آزمون سری متناوب); مجموع ≈ -0.6931471806 (مطابقت دارد با −ln(2) تا ۱۰ رقم اعشار و بیشتر).

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (1.1 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

  1. 1. مسئله
    مثال حل‌شده
    ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}
  2. 2. گام‌ها، بخش 1
    1. ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}
      سری را بنویسید
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
      آزمون جملهٔ nام
    3. آزمون سری متناوب
    4. lim⁡n→∞an1/n=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1
      مقایسهٔ حدی با سری p
  3. 3. گام‌ها، بخش 2
    1. همگرایی مطلق یا مشروط؟
    2. تخمین عددی مجموع
  4. 4. جواب
    ∑n=1∞(−1)nn به‌طور مشروط همگراست≈−0.6931471806\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{به‌طور مشروط همگراست} \approx -0.6931471806

    alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)

  5. 5. بررسی
    • مجموع‌های جزئی (شاهد پشتیبان، نه اثبات): S₁₀ = -0.64563492، S₁₀₀ = -0.68817218، S₁₀₀₀ = -0.69264743، S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

متن کامل

مسئله. این مسئله است: محاسبه مجموع (منفی 1) به توان n/n از n مساوی 1 تا بی‌نهایت. مشخص کنید که Σ (منفی 1) به توان n / n (n از 1 تا ∞) همگراست یا واگرا.

گام‌ها، بخش 1. سری را بنویسید. Σ a(n) برای n مساوی 1, 2, 3، … با a(n) مساوی (منفی 1) به توان n / n. جمله‌های اول: منفی 1, 0.5, منفی 0.333333, 0.25، …. آزمون جملهٔ nام. lim |a(n)| مساوی 0، پس آزمون واگرایی نتیجه‌ای نمی‌دهد؛ جمله‌ها واقعاً کوچک می‌شوند، پس آزمون دقیق‌تری لازم است. آزمون سری متناوب. علامت‌ها یک‌درمیان عوض می‌شوند و اندازه‌ها b(n) مساوی 1 / n کاهش می‌یابند (بررسی‌شده روی 310 اندیس تا 10 به توان 6) و به 0 میل می‌کنند، پس سری همگراست. مقایسهٔ حدی با سری p. قدرمطلق‌ها Σ 1 / n: جمله‌ها تقریباً مانند 1/n کوچک می‌شوند (برآوردشده از a(2N)/a(N))، پس با Σ 1/n مقایسه کنید: lim a(n) ضرب در n مساوی 1. حد عددی مثبت و متناهی است، پس سری دقیقاً مانند سری p یعنی Σ 1/n رفتار می‌کند که واگراست چون p کوچک‌تر یا مساوی 1.

گام‌ها، بخش 2. همگرایی مطلق یا مشروط؟. Σ |a(n)| واگراست (مقایسهٔ حدی با Σ 1/n)، پس سری فقط به‌طور مشروط همگراست. تخمین عددی مجموع. مجموع‌های جزئی S N برای چند N محاسبه و به N → ∞ برون‌یابی شدند (برون‌یابی ریچاردسون؛ برای جمله‌های متناوب ابتدا میانگین گرفته می‌شود). دو برون‌یابی مستقل با دقتی بهتر از 10 به توان منهای 10 توافق دارند و S تقریباً منفی 0.6931471806 را می‌دهند. هر شکل بسته‌ی نمایش‌داده‌شده یک تطبیق عددی است، نه اثبات.

جواب. پس جواب این است: سری همگرایی مشروط دارد (آزمون سری متناوب); مجموع تقریباً منفی 0.6931471806 (مطابقت دارد با منفی ln(2) تا ۱۰ رقم اعشار و بیشتر). سری وقتی همگراست که مجموع‌های جزئی‌اش به عددی متناهی میل کنند. برای این کار جمله‌ها باید به 0 میل کنند، اما این به‌تنهایی کافی نیست (سری همساز واگراست)، پس برای تصمیم‌گیری از آزمون مقایسه، نسبت، ریشه، سری متناوب یا انتگرال استفاده می‌شود.

بررسی. مجموع‌های جزئی (شاهد پشتیبان، نه اثبات): S₁₀ مساوی منفی 0.64563492، S₁₀₀ مساوی منفی 0.68817218، S₁₀₀₀ مساوی منفی 0.69264743، S₁₀₀₀₀ مساوی منفی 0.69309718.

درس‌های مشابه

محاسبه مجموع (-1)ⁿ/n از n=1 تا ∞ — درس ویدیویی گام‌به‌گام