رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله
ماتریس‌هاجبر خطیدانشگاه≈ 1:11

مقادیر ویژه ماتریس [2 0 0 را بیابید؛ 0 3 4؛ 0 4 9]

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: λ = 11, 2, 1.

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

مسئله اصلی (انگلیسی): مقادیر ویژه ماتریس [2 0 0 را بیابید؛ 0 3 4؛ 0 4 9]

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (0.5 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

  1. 1. مسئله
    مثال حل‌شده
    مقادیر ویژه ماتریس [2 0 0 را بیابید؛ 0 3 4؛ 0 4 9]
  2. 2. گام‌ها، بخش 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[200034049]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 9\end{bmatrix}
      معادلهٔ مشخصه را تشکیل دهید
    2. p(λ)=λ3−14λ2+35λ−22p(\lambda) = \lambda^{3} - 14\lambda^{2} + 35\lambda - 22
      چندجمله‌ای مشخصه
    3. λ=1, λ=2, λ=11\lambda = 1,\ \lambda = 2,\ \lambda = 11
      ریشه‌های گویا با قضیهٔ ریشهٔ گویا پیدا شدند
    4. [−9000−8404−2] v=0⇒v=⟨0,1,2⟩\begin{bmatrix}-9 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 4 \\ 0 & 4 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, 1, 2 \rangle
      بردارهای ویژه برای λ = 11: دستگاه (A − λI)v = 0 را حل کنید
  3. 3. گام‌ها، بخش 2
    1. [000014047] v=0⇒v=⟨1,0,0⟩\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 7\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 0, 0 \rangle
      بردارهای ویژه برای λ = 2: دستگاه (A − λI)v = 0 را حل کنید
    2. [100024048] v=0⇒v=⟨0,−2,1⟩\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 8\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, -2, 1 \rangle
      بردارهای ویژه برای λ = 1: دستگاه (A − λI)v = 0 را حل کنید
  4. 4. جواب
    λ=11, 2, 1\lambda = 11,\ 2,\ 1

    p(λ) roots: 11, 2, 1

  5. 5. بررسی
    • مجموع مقدارهای ویژه ≈ 14 با اثر 14 برابر است.
    • حاصل‌ضرب مقدارهای ویژه با دترمینان 22 برابر است.

متن کامل

مسئله. این مسئله است: مقادیر ویژه ماتریس [2 0 0 را بیابید؛ 0 3 4؛ 0 4 9]. مقدارهای ویژه و بردارهای ویژهٔ یک ماتریس 3 ضرب در 3 را پیدا کن.

گام‌ها، بخش 1. معادلهٔ مشخصه را تشکیل دهید. چندجمله‌ای مشخصه. ریشه‌های گویا با قضیهٔ ریشهٔ گویا پیدا شدند. بردارهای ویژه برای λ مساوی 11: دستگاه (A منهای λI)v مساوی 0 را حل کنید.

گام‌ها، بخش 2. بردارهای ویژه برای λ مساوی 2: دستگاه (A منهای λI)v مساوی 0 را حل کنید. بردارهای ویژه برای λ مساوی 1: دستگاه (A منهای λI)v مساوی 0 را حل کنید.

جواب. پس جواب این است: λ مساوی 11, 2, 1. مقدارهای ویژه ریشه‌های چندجمله‌ای مشخصه‌اند. بردارهای ویژه: λ مساوی 11: ⟨0, 1, 2⟩؛ λ مساوی 2: ⟨1, 0, 0⟩؛ λ مساوی 1: ⟨0, منفی 2, 1⟩.

بررسی. مجموع مقدارهای ویژه تقریباً 14 با اثر 14 برابر است. حاصل‌ضرب مقدارهای ویژه با دترمینان 22 برابر است.

درس‌های مشابه

مقادیر ویژه ماتریس [2 0 0 را بیابید؛ 0 3 4؛ 0 4 9] — درس ویدیویی گام‌به‌گام