رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله
ماتریس‌هاجبر خطیدانشگاه≈ 1:02

مقادیر ویژه ماتریس [5 4 را بیابید؛ 1 2]

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: λ = 6, 1.

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

مسئله اصلی (انگلیسی): مقادیر ویژه ماتریس [5 4 را بیابید؛ 1 2]

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (0.4 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

  1. 1. مسئله
    مثال حل‌شده
    مقادیر ویژه ماتریس [5 4 را بیابید؛ 1 2]
  2. 2. گام‌ها، بخش 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[5412]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}5 & 4 \\ 1 & 2\end{bmatrix}
      معادلهٔ مشخصه را تشکیل دهید
    2. λ2−(7)λ+(6)=0\lambda^2 - (7)\lambda + (6) = 0
      برای ماتریس 2×2 این معادله λ² − (اثر)λ + دترمینان است
    3. p(λ)=λ2−7λ+6p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 6
      چندجمله‌ای مشخصه
    4. λ=1, λ=6\lambda = 1,\ \lambda = 6
      ریشه‌های گویا با قضیهٔ ریشهٔ گویا پیدا شدند
  3. 3. گام‌ها، بخش 2
    1. [−141−4] v=0⇒v=⟨4,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 4 \\ 1 & -4\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 4, 1 \rangle
      بردارهای ویژه برای λ = 6: دستگاه (A − λI)v = 0 را حل کنید
    2. [4411] v=0⇒v=⟨−1,1⟩\begin{bmatrix}4 & 4 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1 \rangle
      بردارهای ویژه برای λ = 1: دستگاه (A − λI)v = 0 را حل کنید
  4. 4. جواب
    λ=6, 1\lambda = 6,\ 1

    p(λ) roots: 6, 1

  5. 5. بررسی
    • مجموع مقدارهای ویژه ≈ 7 با اثر 7 برابر است.
    • حاصل‌ضرب مقدارهای ویژه با دترمینان 6 برابر است.

متن کامل

مسئله. این مسئله است: مقادیر ویژه ماتریس [5 4 را بیابید؛ 1 2]. مقدارهای ویژه و بردارهای ویژهٔ یک ماتریس 2 ضرب در 2 را پیدا کن.

گام‌ها، بخش 1. معادلهٔ مشخصه را تشکیل دهید. برای ماتریس 2 ضرب در 2 این معادله λ به توان دو منهای (اثر)λ به‌علاوه دترمینان است. چندجمله‌ای مشخصه. ریشه‌های گویا با قضیهٔ ریشهٔ گویا پیدا شدند.

گام‌ها، بخش 2. بردارهای ویژه برای λ مساوی 6: دستگاه (A منهای λI)v مساوی 0 را حل کنید. بردارهای ویژه برای λ مساوی 1: دستگاه (A منهای λI)v مساوی 0 را حل کنید.

جواب. پس جواب این است: λ مساوی 6, 1. مقدارهای ویژه ریشه‌های چندجمله‌ای مشخصه‌اند. بردارهای ویژه: λ مساوی 6: ⟨4, 1⟩؛ λ مساوی 1: ⟨-1, 1⟩.

بررسی. مجموع مقدارهای ویژه تقریباً 7 با اثر 7 برابر است. حاصل‌ضرب مقدارهای ویژه با دترمینان 6 برابر است.

درس‌های مشابه

مقادیر ویژه ماتریس [5 4 را بیابید؛ 1 2] — درس ویدیویی گام‌به‌گام