رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله
ماتریس‌هاجبر خطیدانشگاه≈ 1:07

مقادیر ویژه ماتریس [2 1 0 را بیابید؛ 1 2 0؛ 0 0 3]

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: λ = 3, 3, 1.

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

مسئله اصلی (انگلیسی): مقادیر ویژه ماتریس [2 1 0 را بیابید؛ 1 2 0؛ 0 0 3]

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (0.4 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

  1. 1. مسئله
    مثال حل‌شده
    مقادیر ویژه ماتریس [2 1 0 را بیابید؛ 1 2 0؛ 0 0 3]
  2. 2. گام‌ها، بخش 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[210120003]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}
      معادلهٔ مشخصه را تشکیل دهید
    2. p(λ)=λ3−7λ2+15λ−9p(\lambda) = \lambda^{3} - 7\lambda^{2} + 15\lambda - 9
      چندجمله‌ای مشخصه
    3. λ=1, λ=3, λ=3\lambda = 1,\ \lambda = 3,\ \lambda = 3
      ریشه‌های گویا با قضیهٔ ریشهٔ گویا پیدا شدند
    4. [−1101−10000] v=0⇒v=⟨1,1,0⟩, ⟨0,0,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1, 0 \rangle,\ \langle 0, 0, 1 \rangle
      بردارهای ویژه برای λ = 3: دستگاه (A − λI)v = 0 را حل کنید
  3. 3. گام‌ها، بخش 2
    1. [110110002] v=0⇒v=⟨−1,1,0⟩\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1, 0 \rangle
      بردارهای ویژه برای λ = 1: دستگاه (A − λI)v = 0 را حل کنید
  4. 4. جواب
    λ=3, 3, 1\lambda = 3,\ 3,\ 1

    p(λ) roots: 3, 3, 1

  5. 5. بررسی
    • مجموع مقدارهای ویژه ≈ 7 با اثر 7 برابر است.
    • حاصل‌ضرب مقدارهای ویژه با دترمینان 9 برابر است.

متن کامل

مسئله. این مسئله است: مقادیر ویژه ماتریس [2 1 0 را بیابید؛ 1 2 0؛ 0 0 3]. مقدارهای ویژه و بردارهای ویژهٔ یک ماتریس 3 ضرب در 3 را پیدا کن.

گام‌ها، بخش 1. معادلهٔ مشخصه را تشکیل دهید. چندجمله‌ای مشخصه. ریشه‌های گویا با قضیهٔ ریشهٔ گویا پیدا شدند. بردارهای ویژه برای λ مساوی 3: دستگاه (A منهای λI)v مساوی 0 را حل کنید. چندگانگی جبری 2، چندگانگی هندسی 2.

گام‌ها، بخش 2. بردارهای ویژه برای λ مساوی 1: دستگاه (A منهای λI)v مساوی 0 را حل کنید.

جواب. پس جواب این است: λ مساوی 3, 3, 1. مقدارهای ویژه ریشه‌های چندجمله‌ای مشخصه‌اند. بردارهای ویژه: λ مساوی 3: ⟨1, 1, 0⟩, ⟨0, 0, 1⟩؛ λ مساوی 1: ⟨-1, 1, 0⟩.

بررسی. مجموع مقدارهای ویژه تقریباً 7 با اثر 7 برابر است. حاصل‌ضرب مقدارهای ویژه با دترمینان 9 برابر است.

درس‌های مشابه

مقادیر ویژه ماتریس [2 1 0 را بیابید؛ 1 2 0؛ 0 0 3] — درس ویدیویی گام‌به‌گام