رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله
ماتریس‌هاجبر خطیدانشگاه≈ 1:01

مقادیر ویژه ماتریس [4 1 را بیابید؛ 2 3]

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: λ = 5, 2.

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

مسئله اصلی (انگلیسی): مقادیر ویژه ماتریس [4 1 را بیابید؛ 2 3]

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (0.4 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

  1. 1. مسئله
    مثال حل‌شده
    مقادیر ویژه ماتریس [4 1 را بیابید؛ 2 3]
  2. 2. گام‌ها، بخش 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[4123]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}
      معادلهٔ مشخصه را تشکیل دهید
    2. λ2−(7)λ+(10)=0\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0
      برای ماتریس 2×2 این معادله λ² − (اثر)λ + دترمینان است
    3. p(λ)=λ2−7λ+10p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10
      چندجمله‌ای مشخصه
    4. λ=2, λ=5\lambda = 2,\ \lambda = 5
      ریشه‌های گویا با قضیهٔ ریشهٔ گویا پیدا شدند
  3. 3. گام‌ها، بخش 2
    1. [−112−2] v=0⇒v=⟨1,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle
      بردارهای ویژه برای λ = 5: دستگاه (A − λI)v = 0 را حل کنید
    2. [2121] v=0⇒v=⟨−1,2⟩\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle
      بردارهای ویژه برای λ = 2: دستگاه (A − λI)v = 0 را حل کنید
  4. 4. جواب
    λ=5, 2\lambda = 5,\ 2

    p(λ) roots: 5, 2

  5. 5. بررسی
    • مجموع مقدارهای ویژه ≈ 7 با اثر 7 برابر است.
    • حاصل‌ضرب مقدارهای ویژه با دترمینان 10 برابر است.

متن کامل

مسئله. این مسئله است: مقادیر ویژه ماتریس [4 1 را بیابید؛ 2 3]. مقدارهای ویژه و بردارهای ویژهٔ یک ماتریس 2 ضرب در 2 را پیدا کن.

گام‌ها، بخش 1. معادلهٔ مشخصه را تشکیل دهید. برای ماتریس 2 ضرب در 2 این معادله λ به توان دو منهای (اثر)λ به‌علاوه دترمینان است. چندجمله‌ای مشخصه. ریشه‌های گویا با قضیهٔ ریشهٔ گویا پیدا شدند.

گام‌ها، بخش 2. بردارهای ویژه برای λ مساوی 5: دستگاه (A منهای λI)v مساوی 0 را حل کنید. بردارهای ویژه برای λ مساوی 2: دستگاه (A منهای λI)v مساوی 0 را حل کنید.

جواب. پس جواب این است: λ مساوی 5, 2. مقدارهای ویژه ریشه‌های چندجمله‌ای مشخصه‌اند. بردارهای ویژه: λ مساوی 5: ⟨1, 1⟩؛ λ مساوی 2: ⟨-1, 2⟩.

بررسی. مجموع مقدارهای ویژه تقریباً 7 با اثر 7 برابر است. حاصل‌ضرب مقدارهای ویژه با دترمینان 10 برابر است.

درس‌های مشابه

مقادیر ویژه ماتریس [4 1 را بیابید؛ 2 3] — درس ویدیویی گام‌به‌گام