رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله
رگرسیون خطیآمار و احتمالدانشگاه≈ 1:22

خط رگرسیون کمترین مربعات برای x = 10, 20, 30, 40, 50 و y = 48, 41, 35, 30, 22 را بیابید

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: ŷ = 541/10 − (63/100)x; r ≈ -0.997615, r² ≈ 0.995236.

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

مسئله اصلی (انگلیسی): خط رگرسیون کمترین مربعات برای x = 10, 20, 30, 40, 50 و y = 48, 41, 35, 30, 22 را بیابید

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (0.6 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

  1. 1. مسئله
    مثال حل‌شده
    خط رگرسیون کمترین مربعات برای x = 10, 20, 30, 40, 50 و y = 48, 41, 35, 30, 22 را بیابید
  2. 2. گام‌ها، بخش 1
    1. xˉ=1505=30,yˉ=1765=1765≈35.2\bar x = \frac{150}{5} = 30,\quad \bar y = \frac{176}{5} = \frac{176}{5} \approx 35.2
      میانگین‌های x و y
    2. Sxx=∑(x−xˉ)2=1000,Syy=19945≈398.8,Sxy=∑(x−xˉ)(y−yˉ)=−630S_{xx} = \sum (x-\bar x)^2 = 1000,\quad S_{yy} = \frac{1994}{5} \approx 398.8,\quad S_{xy} = \sum (x-\bar x)(y-\bar y) = -630
      مجموع مربعات و حاصل‌ضرب‌های متقاطع حول میانگین‌ها
    3. b=SxySxx=−63100≈−0.63b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = -\frac{63}{100} \approx -0.63
      شیب
    4. a=yˉ−bxˉ=54110≈54.1a = \bar y - b\bar x = \frac{541}{10} \approx 54.1
      عرض از مبدأ: خط از نقطهٔ میانگین‌ها می‌گذرد
  3. 3. گام‌ها، بخش 2
    1. y^=54110−63100x\hat y = \frac{541}{10} - \frac{63}{100}x
      خط رگرسیون
    2. r=SxySxxSyy≈−0.997615,r2≈0.995236r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \approx -0.997615,\quad r^2 \approx 0.995236
      همبستگی و ضریب تعیین
  4. 4. جواب
    y^=54110−63100x\hat y = \frac{541}{10} - \frac{63}{100}x

    b = -63/100 ≈ -0.63, a = 541/10 ≈ 54.1

  5. 5. بررسی
    • مجموع باقی‌مانده‌ها 0 است، همان‌طور که برای یک خط کمترین مربعات باید باشد.

متن کامل

مسئله. این مسئله است: خط رگرسیون کمترین مربعات برای x مساوی 10, 20, 30, 40, 50 و y مساوی 48, 41, 35, 30, 22 را بیابید. خط راست ŷ مساوی a به‌علاوه bx را برازش دهید که مجموع مربعات فواصل عمودی تا داده‌ها را کمینه می‌کند، و میزان برازش آن را با r و r به توان دو بسنجید.

گام‌ها، بخش 1. میانگین‌های x و y. مجموع مربعات و حاصل‌ضرب‌های متقاطع حول میانگین‌ها. شیب. عرض از مبدأ: خط از نقطهٔ میانگین‌ها می‌گذرد.

گام‌ها، بخش 2. خط رگرسیون. همبستگی و ضریب تعیین. همبستگی خطی منفی قوی؛ حدود 99.52 درصد از تغییرات در y توسط خط توضیح داده می‌شود.

جواب. پس جواب این است: ŷ مساوی 541 تقسیم بر 10 منهای (63 تقسیم بر 100)x; r تقریباً منفی 0.997615, r به توان دو تقریباً 0.995236. شیب، تغییر پیش‌بینی‌شده در y به ازای هر یک واحد افزایش در x است. همبستگی قدرت الگوی خطی را می‌سنجد، نه اینکه آیا x باعث y می‌شود یا خیر.

بررسی. مجموع باقی‌مانده‌ها 0 است، همان‌طور که برای یک خط کمترین مربعات باید باشد.

درس‌های مشابه

خط رگرسیون کمترین مربعات برای x = 10, 20, 30, 40, 50 و y = 48, 41, 35, 30, 22 را بیابید — درس ویدیویی گام‌به‌گام