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Résoudre un problème
Intégrales définiesAnalyseUniversité≈ 1:02

Intégrale définie de x sin(x) de 0 à π

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: 3.141592654 = π.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    ∫0πxsin⁡(x) dx\int_{0}^{\pi} x \sin\left( x\right)\,dx
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. ∫0πxsin⁡(x) dx\int_{0}^{\pi} x \sin\left( x\right)\,dx
      Partir de l’intégrale
    2. ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du
      Intégration par parties (méthode du tableau)
    3. ∫xsin⁡(x) dx=sin⁡(x)−xcos⁡(x)\int x \sin\left( x\right)\,dx = \sin\left( x\right)- x \cos\left( x\right)
      Combiner les produits à signes alternés
    4. F(x)=sin⁡(x)−xcos⁡(x)F(x) = \sin\left( x\right)- x \cos\left( x\right)
      Primitive
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. F(π)−F(0)=3.141592654−0=3.141592654F(\pi) - F(0) = 3.141592654 - 0 = 3.141592654
      Appliquer le théorème fondamental de l’analyse
  4. 4. La réponse
    ∫0πxsin⁡(x) dx=3.141592654\int_{0}^{\pi} x \sin\left( x\right)\,dx = 3.141592654

    ∫ from 0 to π = 3.141592654 = π

  5. 5. Vérification
    • Primitive dérivée et comparée à la fonction intégrée ✓
    • La méthode de Simpson adaptative donne 3.141592654 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Intégrale définie de x sin(x) de 0 à pi. Calculer l’intégrale de x sin(x) de x égale 0 à x égale pi.

Étapes, partie 1. Partir de l’intégrale. Intégration par parties (méthode du tableau). Dériver le polynôme x jusqu’à obtenir 0, intégrer sin(x) le même nombre de fois, puis combiner avec des signes alternés. Combiner les produits à signes alternés. Primitive.

Étapes, partie 2. Appliquer le théorème fondamental de l’analyse.

La réponse. La réponse est donc 3.141592654 égale pi. Une intégrale donne l’aire algébrique entre la courbe et l’axe des abscisses: l’aire située au-dessus de l’axe compte positivement et celle située en dessous compte négativement.

Vérification. Primitive dérivée et comparée à la fonction intégrée, ce qui est vérifié. La méthode de Simpson adaptative donne 3.141592654, ce qui est vérifié.

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