Développer et factoriserAlgèbreLycée≈ 1:17

Factoriser x⁴ - 5x² + 4

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$x^{4} - 5x^{2} + 4$
2. Étapes, partie 1
1. $x^{4} - 5x^{2} + 4$
  Écrire le polynôme sous forme développée et ordonnée
2. Appliquer le théorème des racines rationnelles
3. $x^{4} - 5x^{2} + 4 = (x + 2)\left(x^{3} - 2x^{2} - x + 2\right)$
  Diviser par (x + 2) par division synthétique (méthode de Horner) en x = -2
4. $x^{3} - 2x^{2} - x + 2 = (x + 1)\left(x^{2} - 3x + 2\right)$
  Diviser par (x + 1) par division synthétique (méthode de Horner) en x = -1
3. Étapes, partie 2
1. $x^{2} - 3x + 2 = (x - 1)\left(x - 2\right)$
  Diviser par (x - 1) par division synthétique (méthode de Horner) en x = 1
2. $x - 2 = (x - 2)\left(1\right)$
  Diviser par (x - 2) par division synthétique (méthode de Horner) en x = 2
3. $(x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2)$
  Écrire la factorisation complète
4. La réponse
$(x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2)$
x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2)
5. Vérification
- En développant (x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2), on retrouve x^4 - 5x^2 + 4.

Transcription

Le problème. Voici le problème : x puissance 4 moins 5x au carré plus 4. Factoriser un polynôme sur les rationnels.

Étapes, partie 1. Écrire le polynôme sous forme développée et ordonnée. Appliquer le théorème des racines rationnelles. Toute racine rationnelle p/q a p qui divise le terme constant 4 et q qui divise le coefficient dominant 1. Tester ces candidats donne les racines moins 2, moins 1, 1, 2. Diviser par (x plus 2) par division synthétique (méthode de Horner) en x égale moins 2. Diviser par (x plus 1) par division synthétique (méthode de Horner) en x égale moins 1.

Étapes, partie 2. Diviser par (x moins 1) par division synthétique (méthode de Horner) en x égale 1. Diviser par (x moins 2) par division synthétique (méthode de Horner) en x égale 2. Écrire la factorisation complète.

La réponse. La réponse est donc (x moins 2)(x moins 1)(x plus 1)(x plus 2). x puissance 4 moins 5x au carré plus 4 se factorise complètement sur les rationnels sous la forme (x moins 2)(x moins 1)(x plus 1)(x plus 2).

Vérification. En développant (x moins 2)(x moins 1)(x plus 1)(x plus 2), on retrouve x puissance 4 moins 5x au carré plus 4.

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