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Résoudre un problème
Équations trigonométriquesTrigonométrieLycée≈ 1:41

Trouver arcsin(1/2) et chaque angle dans [0°, 360°) avec sin x = 1/2

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: arcsin(1/2) = 30° (π/6); solutions dans [0°, 360°): 30°, 150°; général: x = 30° + 360°n ou x = 150° + 360°n.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Trouver arcsin(1/2) et chaque angle dans [0°, 360°) avec sin x = 1/2

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.7 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Trouver arcsin(1/2) et chaque angle dans [0°, 360°) avec sin x = 1/2
  2. 2. Étape par étape
    1. arcsin⁡(1/2)=30∘=π6\operatorname{arcsin}\left(1/2\right) = 30^\circ = \frac{\pi}{6}
      Valeur principale de l’arcsin, prise dans l’intervalle [−π/2, π/2]
    2. sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ - x) = \sin x
      Le sinus est également positif ou négatif dans un second quadrant, donc utiliser x et 180° − x
    3. x=30∘, 150∘(π6, 5π6)x = 30^\circ,\ 150^\circ \quad (\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6})
      Solutions sur un tour complet, 0° ≤ x < 360°
    4. x=30∘+360∘n ou x=150∘+360∘nx = 30^\circ + 360^\circ n \ \text{ou}\ x = 150^\circ + 360^\circ n
      Solution générale, n tout entier
  3. 3. La réponse
    arcsin⁡(1/2)=30∘=π6,x=30∘+360∘n ou x=150∘+360∘n\operatorname{arcsin}\left(1/2\right) = 30^\circ = \frac{\pi}{6},\quad x = 30^\circ + 360^\circ n \ \text{ou}\ x = 150^\circ + 360^\circ n

    arcsin(1/2) = 30°

  4. 4. Vérification
    • Substitution de chaque solution : sin(30°) ≈ 0.5 ; sin(150°) ≈ 0.5.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver arcsin(1 sur 2) et chaque angle dans [0°, 360°) avec sin x égale 1 sur 2. Trouver l’angle dont le sinus est 1 sur 2: la valeur principale de l’arcsin, chaque solution de sin(x) égale 1 sur 2 sur un tour, et la solution générale.

Étape par étape. Valeur principale de l’arcsin, prise dans l’intervalle [−pi/2, pi/2]. 30° est un angle remarquable, donc la réponse est exacte. Le sinus est également positif ou négatif dans un second quadrant, donc utiliser x et 180° moins x. Solutions sur un tour complet, 0° inférieur ou égal à x inférieur à 360°. Solution générale, n tout entier.

La réponse. La réponse est donc arcsin(1 sur 2) égale 30° (pi/6); solutions dans [0°, 360°): 30°, 150°; général: x égale 30° plus 360°n ou x égale 150° plus 360°n. Une fonction trigonométrique inverse renvoie un angle, la valeur principale. Comme les fonctions trigonométriques sont périodiques, l’équation sin(x) égale 1 sur 2 a une infinité de solutions; la calculatrice liste celles sur un tour et la forme générale.

Vérification. Substitution de chaque solution: sin(30°) environ 0.5; sin(150°) environ 0.5.

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