Équations trigonométriquesTrigonométrieLycée≈ 1:43

Trouver arcsec(-2) et chaque angle dans [0°, 360°) avec sec x = -2

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: arcsec(-2) = 120° (2π/3); solutions dans [0°, 360°): 120°, 240°; général: x = ±120° + 360°n.

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Problème original (anglais) : Trouver arcsec(-2) et chaque angle dans [0°, 360°) avec sec x = -2

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
Trouver arcsec(-2) et chaque angle dans [0°, 360°) avec sec x = -2
2. Étapes, partie 1
1. $\sec x = -2 \iff \cos x = \frac{1}{-2} \approx -0.5$
  Réécrire la sécante comme une réciproque
2. $\operatorname{arcsec}\left(-2\right) = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$
  Valeur principale de l’arcsec, prise dans l’intervalle [0, π], en excluant π/2
3. $\cos(-x) = \cos x$
  Le cosinus est une fonction paire, donc x et −x (c’est-à-dire 360° − x) donnent la même valeur
4. $x = 120^\circ,\ 240^\circ \quad (\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3})$
  Solutions sur un tour complet, 0° ≤ x < 360°
3. Étapes, partie 2
1. $x = \pm 120^\circ + 360^\circ n$
  Solution générale, n tout entier
4. La réponse
$\operatorname{arcsec}\left(-2\right) = 120^\circ = \frac{2\pi}{3},\quad x = \pm 120^\circ + 360^\circ n$
arcsec(-2) = 120°
5. Vérification
- Substitution de chaque solution : sec(120°) ≈ -2 ; sec(240°) ≈ -2.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver arcsec(moins 2) et chaque angle dans [0°, 360°) avec sec x égale moins 2. Trouver l’angle dont la sécante est moins 2: la valeur principale de l’arcsec, chaque solution de sec(x) égale moins 2 sur un tour, et la solution générale.

Étapes, partie 1. Réécrire la sécante comme une réciproque. Valeur principale de l’arcsec, prise dans l’intervalle [0, pi], en excluant pi/2. 120° est un angle remarquable, donc la réponse est exacte. Le cosinus est une fonction paire, donc x et moins x (c’est-à-dire 360° moins x) donnent la même valeur. Solutions sur un tour complet, 0° inférieur ou égal à x inférieur à 360°.

Étapes, partie 2. Solution générale, n tout entier.

La réponse. La réponse est donc arcsec(moins 2) égale 120° (2pi/3); solutions dans [0°, 360°): 120°, 240°; général: x égale plus ou moins 120° plus 360°n. Une fonction trigonométrique inverse renvoie un angle, la valeur principale. Comme les fonctions trigonométriques sont périodiques, l’équation sec(x) égale moins 2 a une infinité de solutions; la calculatrice liste celles sur un tour et la forme générale.

Vérification. Substitution de chaque solution: sec(120°) environ moins 2; sec(240°) environ moins 2.

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