Équations trigonométriquesTrigonométrieLycée≈ 2:10

Trouver arccos(0.25) et chaque angle dans [0°, 360°) avec cos x = 0.25

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: arccos(0.25) = 75.52248781° (1.318116072 rad); solutions dans [0°, 360°): 75.52248781°, 284.4775122°; général: x = ±75.52248781° + 360°n.

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Problème original (anglais) : Trouver arccos(0.25) et chaque angle dans [0°, 360°) avec cos x = 0.25

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
Trouver arccos(0.25) et chaque angle dans [0°, 360°) avec cos x = 0.25
2. Étape par étape
1. $\operatorname{arccos}\left(0.25\right) = 75.52248781^\circ = 1.318116072\text{ rad}$
  Valeur principale de l’arccos, prise dans l’intervalle [0, π]
2. $\cos(-x) = \cos x$
  Le cosinus est une fonction paire, donc x et −x (c’est-à-dire 360° − x) donnent la même valeur
3. $x = 75.52248781^\circ,\ 284.4775122^\circ \quad (1.318116072,\ 4.965069236)$
  Solutions sur un tour complet, 0° ≤ x < 360°
4. $x = \pm 75.52248781^\circ + 360^\circ n$
  Solution générale, n tout entier
3. La réponse
$\operatorname{arccos}\left(0.25\right) = 75.52248781^\circ \approx 1.318116072,\quad x = \pm 75.52248781^\circ + 360^\circ n$
arccos(0.25) = 75.52248781°
4. Vérification
- Substitution de chaque solution : cos(75.52248781°) ≈ 0.25 ; cos(284.4775122°) ≈ 0.25.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver arccos(0.25) et chaque angle dans [0°, 360°) avec cos x égale 0.25. Trouver l’angle dont le cosinus est 0.25: la valeur principale de l’arccos, chaque solution de cos(x) égale 0.25 sur un tour, et la solution générale.

Étape par étape. Valeur principale de l’arccos, prise dans l’intervalle [0, pi]. La valeur n’est pas une des valeurs exactes standard, donc l’angle est donné sous forme décimale. Le cosinus est une fonction paire, donc x et moins x (c’est-à-dire 360° moins x) donnent la même valeur. Solutions sur un tour complet, 0° inférieur ou égal à x inférieur à 360°. Solution générale, n tout entier.

La réponse. La réponse est donc arccos(0.25) égale 75.52248781° (1.318116072 rad); solutions dans [0°, 360°): 75.52248781°, 284.4775122°; général: x égale plus ou moins 75.52248781° plus 360°n. Une fonction trigonométrique inverse renvoie un angle, la valeur principale. Comme les fonctions trigonométriques sont périodiques, l’équation cos(x) égale 0.25 a une infinité de solutions; la calculatrice liste celles sur un tour et la forme générale.

Vérification. Substitution de chaque solution: cos(75.52248781°) environ 0.25; cos(284.4775122°) environ 0.25.

Étapes à l’écran

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