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Résoudre un problème
Équations trigonométriquesTrigonométrieLycée≈ 2:06

Trouver arccos(-√3/2) et chaque angle dans [0°, 360°) avec cos x = -√3/2

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: arccos(-√3/2) = 150° (5π/6); solutions dans [0°, 360°): 150°, 210°; général: x = ±150° + 360°n.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Trouver arccos(-√3/2) et chaque angle dans [0°, 360°) avec cos x = -√3/2

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.8 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Trouver arccos(-√3/2) et chaque angle dans [0°, 360°) avec cos x = -√3/2
  2. 2. Étape par étape
    1. arccos⁡(−3/2)=150∘=5π6\operatorname{arccos}\left(-\sqrt{3}/2\right) = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}
      Valeur principale de l’arccos, prise dans l’intervalle [0, π]
    2. cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x
      Le cosinus est une fonction paire, donc x et −x (c’est-à-dire 360° − x) donnent la même valeur
    3. x=150∘, 210∘(5π6, 7π6)x = 150^\circ,\ 210^\circ \quad (\frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6})
      Solutions sur un tour complet, 0° ≤ x < 360°
    4. x=±150∘+360∘nx = \pm 150^\circ + 360^\circ n
      Solution générale, n tout entier
  3. 3. La réponse
    arccos⁡(−3/2)=150∘=5π6,x=±150∘+360∘n\operatorname{arccos}\left(-\sqrt{3}/2\right) = 150^\circ = \frac{5\pi}{6},\quad x = \pm 150^\circ + 360^\circ n

    arccos(-√3/2) = 150°

  4. 4. Vérification
    • Substitution de chaque solution : cos(150°) ≈ -0.8660254038 ; cos(210°) ≈ -0.8660254038.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver arccos(moins la racine carrée de 3 sur 2 et chaque angle dans [0°, 360°) avec cos x égale moins la racine carrée de 3 sur 2. Trouver l’angle dont le cosinus est moins la racine carrée de 3 sur 2: la valeur principale de l’arccos, chaque solution de cos(x) égale moins la racine carrée de 3 sur 2 sur un tour, et la solution générale.

Étape par étape. Valeur principale de l’arccos, prise dans l’intervalle [0, pi]. 150° est un angle remarquable, donc la réponse est exacte. Le cosinus est une fonction paire, donc x et moins x (c’est-à-dire 360° moins x) donnent la même valeur. Solutions sur un tour complet, 0° inférieur ou égal à x inférieur à 360°. Solution générale, n tout entier.

La réponse. La réponse est donc arccos(moins la racine carrée de 3 sur 2 égale 150° (5pi/6); solutions dans [0°, 360°): 150°, 210°; général: x égale plus ou moins 150° plus 360°n. Une fonction trigonométrique inverse renvoie un angle, la valeur principale. Comme les fonctions trigonométriques sont périodiques, l’équation cos(x) égale moins la racine carrée de 3 sur 2 a une infinité de solutions; la calculatrice liste celles sur un tour et la forme générale.

Vérification. Substitution de chaque solution: cos(150°) environ moins 0.8660254038; cos(210°) environ moins 0.8660254038.

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