Intégrales définiesAnalyseUniversité≈ 1:17

Intégrer x² - 4x + 3 de 0 à 3

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\int_{0}^{3} {x}^{2}-4x+3\,dx$
2. Étapes, partie 1
1. $\int_{0}^{3} {x}^{2}-4x+3\,dx$
  Partir de l’intégrale
2. $\int {x}^{2}\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}$
  Primitive d’une puissance : ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. $\int x\,dx = \frac{{x}^{2}}{2}$
  Primitive d’une puissance : ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
4. $\int 4x\,dx = 2{x}^{2}$
  Linéarité (facteur constant) : ∫ k·f dx = k∫ f dx
3. Étapes, partie 2
1. $\int {x}^{2}-4x\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}-2{x}^{2}$
  Règle de linéarité : intégrer terme à terme
2. $\int 3\,dx = 3x$
  Règle de la constante : ∫ k dx = kx
3. $\int {x}^{2}-4x+3\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}+3x-2{x}^{2}$
  Règle de linéarité : intégrer terme à terme
4. $F(x) = \frac{{x}^{3}}{3}+3x-2{x}^{2}$
  Primitive
4. Étapes, partie 3
1. $F(3) - F(0) = 0 - 0 = 0$
  Appliquer le théorème fondamental de l’analyse
5. La réponse
$\int_{0}^{3} {x}^{2}-4x+3\,dx = 0$
∫ from 0 to 3 = 0
6. Vérification
- Primitive dérivée et comparée à la fonction intégrée ✓
- La méthode de Simpson adaptative donne 0 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Intégrer x au carré moins 4x plus 3 de 0 à 3. Calculer l prime intégrale définie de x au carré moins 4 x plus 3 de x égale 0 à x égale 3.

Étapes, partie 1. Partir de l’intégrale. Primitive d’une puissance: l'intégrale de x puissance n dx égale x puissance n plus 1/(n plus 1). Primitive d’une puissance: l'intégrale de x puissance n dx égale x puissance n plus 1/(n plus 1). Linéarité (facteur constant): l'intégrale de k fois f dx égale k l'intégrale de f dx.

Étapes, partie 2. Règle de linéarité: intégrer terme à terme. Règle de la constante: l'intégrale de k dx égale kx. Règle de linéarité: intégrer terme à terme. Primitive.

Étapes, partie 3. Appliquer le théorème fondamental de l’analyse.

La réponse. La réponse est donc 0. Une intégrale donne l’aire algébrique entre la courbe et l’axe des abscisses: l’aire située au-dessus de l’axe compte positivement et celle située en dessous compte négativement.

Vérification. Primitive dérivée et comparée à la fonction intégrée, ce qui est vérifié. La méthode de Simpson adaptative donne 0, ce qui est vérifié.

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