Résoudre x³ - 4x ≤ 0

Le problème. Voici le problème : x au cube moins 4x inférieur à égale 0. Résoudre l’inéquation et donner la réponse sous forme d’intervalle.

Étapes, partie 1. Tout passer dans un même membre et factoriser. Un tableau de signes demande la forme f(x) comparée à 0, écrite comme un produit ou un quotient de facteurs. Trouver les valeurs critiques. Le signe ne peut changer qu’en moins 2 (zéro), 0 (zéro), 2 (zéro). Tester un point dans chaque intervalle (tableau de signes). (-∞, moins 2): test x égale moins 3 → signe moins → inclus; (moins 2, 0): test x égale moins 1 → signe plus → exclu; (0, 2): test x égale 1 → signe moins → inclus; (2, ∞): test x égale 3 → signe plus → exclu. Décider des bornes. moins 2: inclus (l’expression vaut 0 et le signe permet l’égalité); 0: inclus (l’expression vaut 0 et le signe permet l’égalité); 2: inclus (l’expression vaut 0 et le signe permet l’égalité).

Étapes, partie 2. Écrire l’ensemble des solutions.

La réponse. La réponse est donc (-∞, moins 2] ∪ [0, 2]. L’inéquation est vérifiée exactement pour x dans (-∞, moins 2] ∪ [0, 2]. Les points où l’expression n’est pas définie ne sont jamais inclus, et les bornes ne sont incluses que pour inférieur ou égal à ou supérieur ou égal à là où l’expression s’annule.

Vérification. x égale moins 3: vérifie l’inéquation. x égale moins 1: ne vérifie pas l’inéquation. x égale 1: vérifie l’inéquation. x égale 3: ne vérifie pas l’inéquation.