Langsung ke konten
MathSolver Pro
  • Buka pemecah matematika
  • Tanya tutor AI
  • Cari kursus AP
  • Buat kuis
  • Buka kalkulator
  • Kalkulator grafik
  • Lihat semua kalkulator
  • Baca panduan matematika
↑ ↓Enter untuk membuka · Esc untuk menutup
Selesaikan soal
Barisan dan deretAljabarPerguruan tinggi≈ 2:23

Hitung jumlah 1/n! dari n=0 sampai tak hingga

Pelajaran animasi langkah demi langkah. Tekan Putar untuk menonton setiap langkah dengan teks, atau baca langkah dan transkrip di bawah. Jawaban: Deret konvergen (uji rasio); jumlah ≈ 2.718281828 (cocok dengan e hingga 10+ digit).

Video rekaman: suara dan tulisan di dalam gambar menggunakan bahasa Inggris. Subtitel: Bahasa Indonesia. Untuk narasi dalam bahasa ini, buka versi interaktif.

Video bahasa Inggris: Unduh MP4 (0.8 MB) · Subtitel (WebVTT): Bahasa Indonesia · Takarir bahasa Inggris (WebVTT)

Langkah di layar

  1. 1. Soal
    Contoh soal
    ∑n=0∞1n!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
  2. 2. Langkah demi langkah
    1. ∑n=0∞1n!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
      Tulis deretnya
    2. lim⁡n→∞1n!=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!} = 0
      Uji suku ke-n
    3. L=lim⁡n→∞1n+1=0L = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0
      Uji rasio
    4. Perkirakan jumlahnya secara numerik
  3. 3. Jawaban
    ∑n=0∞1n! konvergen≈2.718281828\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \ \text{konvergen} \approx 2.718281828

    ratio test ⇒ converges, S ≈ 2.718281828 (matches e to 10+ digits)

  4. 4. Pemeriksaan
    • Jumlah parsial (bukti pendukung, bukan pembuktian): S₁₀ = 2.7182815, S₁₀₀ = 2.7182818, S₁₀₀₀ = 2.7182818, S₁₀₀₀₀ = 2.7182818

Transkrip

Soal. Ini soalnya: Hitung jumlah 1/n! dari n sama dengan 0 sampai tak hingga. Tentukan apakah Σ 1 / n! (n dari 0 sampai ∞) konvergen atau divergen.

Langkah demi langkah. Tulis deretnya. Σ a(n) untuk n sama dengan 0, 1, 2, … dengan a(n) sama dengan 1 / n!. Suku-suku pertama: 1, 1, 0.5, 0.166667, …. Uji suku ke-n. lim a(n) sama dengan 0, sehingga uji divergensi tidak memberi kesimpulan; suku-sukunya memang mengecil, jadi diperlukan uji yang lebih halus. Uji rasio. Suku positif: a(n tambah 1)/a(n) disederhanakan menjadi 1 / (n tambah 1), dan limitnya untuk n → ∞ adalah L sama dengan 0. L kurang dari 1, sehingga deretnya konvergen (mutlak). Perkirakan jumlahnya secara numerik. Jumlah parsial S N dihitung untuk beberapa N dan diekstrapolasi ke N → ∞ (ekstrapolasi Richardson; untuk suku berganti tanda, dirata-ratakan dahulu). Dua ekstrapolasi independen sepakat lebih baik dari 10 pangkat kurang 10, menghasilkan S kira-kira 2.718281828. Bentuk tertutup yang ditampilkan adalah identifikasi numerik, bukan bukti.

Jawaban. Jadi jawabannya adalah Deret konvergen (uji rasio); jumlah kira-kira 2.718281828 (cocok dengan e hingga 10+ digit). Deret konvergen jika jumlah parsialnya mendekati suatu bilangan berhingga. Agar itu terjadi, suku-sukunya harus menuju 0, tetapi itu saja belum cukup (deret harmonik divergen), sehingga digunakan uji perbandingan, uji rasio, uji akar, uji deret berganti tanda, atau uji integral untuk memutuskannya.

Pemeriksaan. Jumlah parsial (bukti pendukung, bukan pembuktian): S₁₀ sama dengan 2.7182815, S₁₀₀ sama dengan 2.7182818, S₁₀₀₀ sama dengan 2.7182818, S₁₀₀₀₀ sama dengan 2.7182818.

Pelajaran serupa

Hitung jumlah 1/n! dari n=0 sampai tak hingga — video pelajaran langkah demi langkah