Kalkulator Turunan

Aturan-aturan dasar

Hampir semua turunan dalam kalkulus pengantar diperoleh dari beberapa aturan. Aturan pangkat memberikan $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ untuk setiap bilangan real $n$ dan juga mencakup akar: turunan $\sqrt{x} = x^{1/2}$ adalah $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Dengan mengeluarkan faktor konstanta dan menurunkan jumlah suku demi suku, Anda mencari turunan polinomial suku demi suku. Fungsi eksponen $e^x$ sama dengan turunannya sendiri; untuk logaritma, $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$. Masing-masing dari keenam fungsi trigonometri memiliki turunan baku dalam tabel, yang diawali dengan $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ dan $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.

Turunan dari tabel digabungkan dengan tiga aturan struktural. Aturan perkalian menangani $f \cdot g$, aturan pembagian menangani $\frac{f}{g}$, dan aturan rantai menangani fungsi di dalam fungsi lain. Mengenali struktur bentuk aljabarnya adalah sebagian besar pekerjaan; karena itu kalkulator menyebutkan nama aturan di judul setiap langkah.

Penerapan aturan rantai

Aturannya sebagai berikut: jika $y = f(g(x))$, maka $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Fungsi luar diturunkan dengan membiarkan fungsi dalam apa adanya, lalu dikalikan dengan turunan fungsi dalam. Pada $\sin(x^2)$, fungsi luarnya sinus dan fungsi dalamnya $x^2$; karena itu turunannya $\cos(x^2) \cdot 2x$. Kalkulator menuliskannya sebagai $2\cos(x^2)\,x$ — bentuk yang sama dengan urutan faktor yang ditukar.

Aturan rantai juga tersembunyi di dalam aturan lain. Pada $e^{3x}$, fungsi dalamnya $3x$; karena itu turunannya $3e^{3x}$, dan kalkulator menamai langkah ini turunan fungsi eksponen dengan $e^u \cdot u'$. Melupakan faktor pengali itu — turunan fungsi dalam — adalah kesalahan paling umum dalam menurunkan; cara tercepat menemukannya adalah membandingkan jawaban Anda dengan langkah fungsi dalam pada kalkulator.

Pembagian dan penyederhanaan

Untuk pembagian $\frac{u}{v}$, aturannya berbentuk $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. Karena pengurangan tidak bersifat komutatif, urutan pada pembilang penting. Menurunkan $\frac{e^{3x}}{x}$ menghasilkan $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$; kalkulator menyederhanakannya menjadi $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$. Kedua bentuk, seperti juga $\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$, sama-sama benar. Jika jawaban Anda tampak berbeda, substitusikan suatu nilai ke kedua bentuk, misalnya $x = 1$; jika keduanya cocok di beberapa titik, itu tanda yang baik bahwa keduanya ekuivalen.

Turunan tingkat tinggi dan nilai di suatu titik

Menurunkan sekali lagi menghasilkan turunan kedua, yang menunjukkan bagaimana gradien itu sendiri berubah. Turunan kedua yang positif menunjukkan bahwa kurva terbuka ke atas seperti mangkuk, yaitu cekung ke atas; turunan kedua yang negatif menunjukkan bahwa kurva terbuka ke bawah, yaitu cekung ke bawah. Untuk $f(x) = x^3$, turunan pertamanya $3x^2$ dan turunan keduanya $6x$; di $x = 2$ diperoleh $f''(2) = 12$. Seandainya dalam fisika $x^3$ menyatakan posisi, 12 adalah percepatan pada saat 2.

Nilai turunan pertama di suatu titik adalah gradien garis singgung di sana; bersama titik itu sendiri, nilai ini memungkinkan Anda menuliskan persamaan garis singgung. Hampiran linear dan metode Newton untuk menyelesaikan persamaan didasarkan pada hal ini.

Mencari maksimum dan minimum dengan turunan

Maksimum atau minimum lokal fungsi yang dapat diturunkan hanya dapat terjadi di tempat turunannya nol atau tidak ada: di puncak atau lembah, garis singgungnya mendatar. Untuk menyelidiki nilai ekstrem suatu fungsi, cari turunannya, tuliskan $f'(x) = 0$, selesaikan untuk $x$, lalu periksa setiap titik kritis. Untuk $f(x) = x^3 - 3x$, turunannya $3x^2 - 3$ dan bernilai nol di $x = -1$ dan $x = 1$. Turunan kedua $6x$ negatif di $-1$ dan positif di $1$; karena itu kurva memiliki maksimum di titik $(-1, 2)$ dan minimum di titik $(1, -2)$.

Pada interval tertutup, nilai terbesar dan terkecil juga dapat dicapai di titik ujung; karena itu bandingkan juga nilai fungsi di titik-titik itu. Banyak soal terapan, seperti meminimumkan bahan untuk kotak dengan volume tertentu, diselesaikan tepat dengan cara ini begitu besaran yang akan dioptimumkan dituliskan sebagai fungsi satu variabel.

Bagaimana kalkulator memeriksa hasilnya?

Penurunan simbolik dapat keliru tanpa disadari, terutama saat penyederhanaan; karena itu hasil tidak diterima tanpa pemeriksaan. Kalkulator menghitung turunan Anda di serangkaian titik uji dan membandingkannya dengan hasil bagi selisih pusat $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ yang dihitung langsung dari fungsi semula untuk $h$ yang kecil. Jika keduanya cocok dalam toleransi yang ketat di semua titik tempat fungsi terdefinisi, pemeriksaan dinyatakan lulus dan ditampilkan di bawah hasil. Anda juga dapat menerapkan gagasan yang sama secara manual dengan kalkulator biasa: pilih suatu nilai $x$, geser sedikit ke atas dan ke bawah, lalu periksa apakah perubahan $f$ dibagi perubahan $x$ cocok dengan turunan Anda.