Penyelesai Persamaan Kuadrat

Q: Apa rumus kuadrat untuk persamaan kuadrat?

Untuk ax^2 + bx + c = 0, akar-akarnya adalah x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a). Rumus ini berlaku untuk setiap persamaan kuadrat, termasuk yang tidak dapat difaktorkan.

Q: Apa yang ditunjukkan diskriminan?

Jika b^2 - 4ac > 0 ada dua akar yang berbeda; jika sama dengan 0 ada satu akar kembar; jika negatif akar-akarnya kompleks dan ada dua.

Q: Bagaimana cara mencari titik puncak parabola?

Titik puncak berada di x = -b/(2a); substitusikan nilai ini untuk mendapatkan ordinatnya. Kalkulator menampilkan kedua koordinatnya.

Q: Mengapa a tidak boleh nol pada persamaan kuadrat?

Jika a = 0, suku x^2 lenyap dan persamaan berubah menjadi persamaan linear bx + c = 0 yang paling banyak memiliki satu penyelesaian. Selain itu, rumusnya akan memerlukan pembagian dengan nol; karena itu kalkulator meminta a yang tidak nol.

Tentang penyelesai persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$ , dengan $a \neq 0$ . Grafiknya berupa parabola, dan akar-akarnya adalah titik-titik tempat parabola memotong sumbu x.

Diskriminan $\Delta = b^2 - 4ac$ menunjukkan akar seperti apa yang dapat diharapkan: jika positif ada dua akar real, jika nol ada satu akar kembar, dan jika negatif ada dua akar kompleks yang saling sekawan. Kalkulator mempertahankan akar dalam bentuk eksak: persamaan $2x^2 + 4x - 3 = 0$ menghasilkan $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ .

Apa itu persamaan kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua: pangkat tertinggi variabelnya adalah $x^2$ . Dalam bentuk baku ditulis $ax^2 + bx + c = 0$ , dengan $a$ , $b$ , dan $c$ berupa bilangan dan $a$ tidak nol. Koefisien $a$ menentukan seberapa lebar parabola terbuka dan apakah kakinya menghadap ke atas atau ke bawah, $b$ menggeser parabola ke samping, sedangkan $c$ adalah titik potong parabola dengan sumbu y.

Karena grafik $y = ax^2 + bx + c$ berupa parabola, grafik itu dapat memotong sumbu x dua kali, menyinggungnya sekali di titik puncak, atau tidak mencapainya sama sekali. Ketiga keadaan ini bersesuaian dengan dua akar real, satu akar kembar, dan tidak adanya akar real; diskriminan menunjukkan keadaan mana yang kita hadapi sebelum akar-akarnya dihitung.

Cara menggunakan penyelesai persamaan kuadrat

Susun persamaan sehingga salah satu ruasnya 0.
Masukkan koefisien a, b, dan c. Pecahan dan desimal diterima.
Tekan «Selesaikan» untuk melihat diskriminan, kedua akar, bentuk faktor, dan titik puncak parabola.

Rumus

Rumus kuadrat (rumus ABC)

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Diskriminan

\Delta = b^2 - 4ac

Titik puncak parabola

\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Rumus Vieta

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Contoh soal dan pembahasan: x² − 3x − 10 = 0

Contoh soal menyelesaikan $x^2 - 3x - 10 = 0$ , yaitu $a = 1$ , $b = -3$ , dan $c = -10$ . Diskriminannya $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ ; karena positif dan merupakan kuadrat sempurna, ada dua akar dan keduanya rasional. Rumus menghasilkan $\frac{3 \pm 7}{2}$ , yaitu $x = -2$ dan $x = 5$ . Kalkulator juga mencari titik puncak $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ dan bentuk faktor $(x + 2)(x - 5)$ ; dengan rumus Vieta, kalkulator memastikan bahwa jumlah akar-akarnya 3 dan hasil kalinya −10.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

x_1 = -2,\quad x_2 = 5

Cara kami membaca soal Anda

Selesaikan persamaan kuadrat bentuk baku dengan rumus kuadrat.

x^2 - 3x - 10 = 0

Pembahasan langkah demi langkah

Tentukan koefisien dari ax² + bx + c = 0
$x^2 - 3x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 1,\ b = -3,\ c = -10$
Hitung diskriminan
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$
Δ > 0, jadi ada dua akar real yang berbeda
Terapkan rumus kuadrat
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
Sederhanakan setiap akar
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
Cari titik puncak parabola
Parabola terbuka ke atas, jadi titik puncaknya adalah titik minimum.
$h = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{49}{4}$
Bentuk faktor
$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

Rumus yang digunakan

Rumus kuadrat
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Diskriminan
$\Delta = b^2 - 4ac$
Titik puncak
$\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)$

Diskriminannya positif, jadi parabola memotong sumbu x di dua titik.

Pemeriksaan

Substitusikan x = -2: 1·(-2)² + (-3)·(-2) + (-10) = 0
Substitusikan x = 5: 1·5² + (-3)·5 + (-10) = 0
Vieta: jumlah akar = 3 = −b/a = 3; hasil kali = -10 = c/a = -10

Penjelasan lengkap

Tiga keadaan diskriminan

Jika $\Delta > 0$ , akar kuadratnya bilangan real dan $\pm$ menghasilkan dua akar yang berbeda. Jika $\Delta$ juga kuadrat sempurna, seperti 49 pada contoh, akar-akarnya rasional dan trinomialnya dapat difaktorkan dengan koefisien bulat; jika tidak, bentuk akar tetap tertinggal seperti pada akar $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ dari persamaan $2x^2 + 4x - 3 = 0$ . Jika $\Delta = 0$ , kedua akar berimpit: persamaan $x^2 - 6x + 9 = 0$ memiliki satu akar kembar, $x = 3$ , dan parabola hanya menyinggung sumbu. Jika $\Delta < 0$ , tidak ada akar real dan kalkulator memberikan sepasang akar kompleks, misalnya $-1 \pm 2i$ untuk $x^2 + 2x + 5 = 0$ .

Dari mana rumus ini berasal?

Rumus kuadrat diperoleh dengan melengkapkan kuadrat pada persamaan umum. Setelah dibagi $a$ dan suku $c$ dipindahkan ke ruas lain, diperoleh $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ ; menambahkan $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ ke kedua ruas mengubah ruas kiri menjadi kuadrat sempurna: $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ . Dengan menarik akar kuadrat dan mengurangkan $\frac{b}{2a}$ , kita sampai pada rumusnya. Penurunan ini juga menjelaskan letak titik puncak: parabola simetris terhadap garis $x = -\frac{b}{2a}$ , dan garis itu tepat berada di tengah-tengah kedua akar.

Cara membaca titik puncak dan grafik

Titik puncak adalah titik tempat parabola berbalik arah. Absisnya $-\frac{b}{2a}$ ; dengan menyubstitusikan nilai ini ke persamaan diperoleh ordinatnya, yang merupakan nilai minimum jika $a > 0$ dan nilai maksimum jika $a < 0$ . Pada contoh, titik puncaknya di $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ , sehingga ekspresi $x^2 - 3x - 10$ tidak pernah kurang dari $-12.25$ . Itulah sebabnya fungsi kuadrat sangat berguna dalam soal optimasi, misalnya untuk mencari titik tertinggi yang dicapai bola yang dilempar atau harga yang memberikan pendapatan terbesar.

Penulisan dalam bentuk $a(x - h)^2 + k$ memberikan informasi yang sama secara langsung: titik puncaknya di $(h, k)$ .

Kesalahan yang sering terjadi

Memakai $-b^2$ alih-alih $b^2$ saat $b$ negatif: $(-3)^2 = 9$ .
Hanya membagi suku $-b$ dengan $2a$ , bukan seluruh pembilangnya.
Memasukkan koefisien sebelum memindahkan semua suku ke satu ruas.
Melupakan tanda ± dan hanya memberikan satu akar.
Memberikan akar kompleks padahal yang diminta hanya akar real, atau sebaliknya; baca soal dengan cermat.

Kiat

Jika $b$ genap, rumusnya menyederhana menjadi $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$ .
Periksa akar-akar dengan rumus Vieta: jumlahnya harus $-\frac{b}{a}$ .
Jika $\Delta$ kuadrat sempurna, trinomialnya dapat difaktorkan dengan koefisien bulat.
Bagi dulu ketiga koefisien dengan faktor persekutuannya: akar-akarnya tidak berubah, tetapi perhitungannya menjadi lebih mudah.
Titik puncak tepat berada di tengah-tengah kedua akar; ini memudahkan pemeriksaan cepat keduanya.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa rumus kuadrat untuk persamaan kuadrat?

Untuk $ax^2 + bx + c = 0$ , akar-akarnya adalah $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ . Rumus ini berlaku untuk setiap persamaan kuadrat, termasuk yang tidak dapat difaktorkan.

Apa yang ditunjukkan diskriminan?

Jika $b^2 - 4ac > 0$ ada dua akar yang berbeda; jika sama dengan 0 ada satu akar kembar; jika negatif akar-akarnya kompleks dan ada dua.

Apakah kalkulator memberikan akar kompleks?

Ya. Jika diskriminannya negatif, akar-akarnya ditulis sebagai $p \pm qi$ ; untuk $x^2 + 2x + 5 = 0$ akarnya $-1 \pm 2i$ .

Bagaimana jika a = 0?

Dalam hal ini persamaannya bukan kuadrat, melainkan linear. Gunakan penyelesai persamaan atau kalkulator mencari nilai x.

Bagaimana cara mencari titik puncak parabola?

Titik puncak berada di $x = -\frac{b}{2a}$ ; substitusikan nilai ini untuk mendapatkan ordinatnya. Kalkulator menampilkan kedua koordinatnya.

Mengapa akar ditulis dalam bentuk akar, bukan desimal?

Bentuk akar yang eksak mempertahankan ketelitian penuh dan memperlihatkan struktur jawabannya. Nilai desimal yang dibulatkan juga diberikan di sampingnya sebagai gambaran.

Apa arti akar kembar?

Diskriminannya nol dan kedua akar adalah bilangan yang sama. Parabola menyinggung sumbu x di titik puncaknya tanpa memotongnya, seperti akar kembar $x = 3$ dari persamaan $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

Kapan pemfaktoran lebih praktis daripada rumus?

Faktorkan jika diskriminannya kuadrat sempurna dan bilangannya kecil: dalam hal ini akar-akarnya rasional. Rumus selalu berhasil; gunakan rumus jika pemfaktorannya tidak tampak jelas.

Mengapa a tidak boleh nol pada persamaan kuadrat?

Jika $a = 0$ , suku $x^2$ lenyap dan persamaan berubah menjadi persamaan linear $bx + c = 0$ yang paling banyak memiliki satu penyelesaian. Selain itu, rumusnya akan memerlukan pembagian dengan nol; karena itu kalkulator meminta $a$ yang tidak nol.

Coba penyelesai persamaan kuadrat

Masukkan nilai a, b, dan c; dapatkan diskriminan, akar-akar eksak, titik puncak parabola, dan bentuk faktornya.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI