Penyelesai Sistem Persamaan

Tentang penyelesai sistem persamaan

Sistem persamaan menanyakan nilai-nilai yang memenuhi beberapa persamaan sekaligus. Dua garis pada bidang koordinat berpotongan di satu titik, tidak pernah berpotongan, atau berimpit; tiga keadaan yang sama juga muncul pada sistem dengan berapa pun banyak variabelnya. Kalkulator menentukan keadaan mana yang kita hadapi dan, jika penyelesaiannya tunggal, memberikan pecahan eksak alih-alih desimal yang dibulatkan.

Kalkulator menggunakan eliminasi Gauss–Jordan, metode sistematis di balik metode substitusi dan eliminasi yang diajarkan di sekolah. Setiap operasi baris dicantumkan: Anda dapat mengikuti perhitungannya, membandingkannya dengan langkah eliminasi Anda sendiri, dan melihat tepat di mana suatu variabel tereliminasi atau di mana kontradiksi muncul.

Apa itu sistem persamaan linear?

Dalam persamaan linear, setiap variabel hanya muncul berpangkat satu, seperti pada contoh $2x + 3y = 7$ . Sistem adalah kumpulan persamaan semacam itu yang memuat variabel-variabel yang sama. Penyelesaiannya adalah himpunan nilai yang menjadikan semua persamaan bernilai benar secara bersamaan.

Pada dua variabel, setiap persamaan menyatakan sebuah garis, dan penyelesaiannya adalah titik potongnya. Pada tiga variabel, setiap persamaan menyatakan sebuah bidang. Suatu sistem dapat memiliki penyelesaian tunggal, tak hingga banyak penyelesaian, atau tidak memiliki penyelesaian sama sekali.

Cara menggunakan penyelesai sistem persamaan

Tulis setiap persamaan pada baris tersendiri, misalnya 2x + 3y = 7 pada baris pertama dan x - y = 1 pada baris kedua.
Gunakan huruf apa saja untuk variabel. Suku-suku boleh berada di kedua ruas: kalkulator mengubah persamaan ke bentuk baku.
Pecahan dan desimal diterima, misalnya 0.5x + y/3 = 2; desimal diubah menjadi pecahan eksak.
Tekan «Selesaikan sistem». Periksa bentuk baku dan matriks yang diperbesar, lalu daftar operasi barisnya.
Baca hasilnya: penyelesaian tunggal, bentuk parametrik himpunan penyelesaian yang tak hingga, atau kontradiksi yang membuktikan bahwa tidak ada penyelesaian.

Rumus

Bentuk matriks

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

Koefisien membentuk matriks $A$ , ruas kanan membentuk vektor $\mathbf{b}$ ; matriks yang diperbesar adalah $[A \mid \mathbf{b}]$ .

Operasi baris elementer

R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i\ (k \ne 0),\quad R_i \to R_i + kR_j

Tidak satu pun mengubah himpunan penyelesaian.

Aturan Cramer (2 × 2)

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}

Untuk sistem $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ yang determinannya tidak nol.

Contoh soal dan pembahasan: 2x + 3y = 7, x − y = 1

Contoh soal menyelesaikan sistem $2x + 3y = 7$ dan $x - y = 1$ . Kalkulator menyusun matriks yang diperbesar, membagi baris pertama sehingga koefisien pertamanya 1, mengeliminasi variabel $x$ dari baris kedua, lalu mengeliminasi variabel $y$ dari baris pertama.

Jawabannya langsung dibaca dari matriks tereduksi: $x = 2$ dan $y = 1$ . Dengan substitusi diperoleh $2(2) + 3(1) = 7$ dan $2 - 1 = 1$ : kedua persamaan terpenuhi.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

x = 2,\ y = 1

Cara kami membaca soal Anda

2 persamaan linear dengan 2 variabel (x, y).

\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ x- y = 1 \end{cases}

Pembahasan langkah demi langkah

Tulis setiap persamaan dalam bentuk baku
Pindahkan semua suku variabel ke kiri dan konstanta ke kanan.
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Susun matriks yang diperbesar [A | b]
Kolom: x, y | konstanta.
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Eliminasi Gauss–Jordan
Gunakan operasi baris untuk membuat setiap pivot 1 dan mengosongkan bagian lain kolomnya.
Bagi R1 dengan 2
$R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
Kosongkan kolom 1 menggunakan pivot di R1
$R_{2} \to R_{2} - 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}\end{bmatrix}$
Bagi R2 dengan -5/2
$R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{5}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Kosongkan kolom 2 menggunakan pivot di R2
$R_{1} \to R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Bentuk eselon baris tereduksi
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
Baca penyelesaian tunggalnya
$x = 2,\ y = 1$

Rumus yang digunakan

Bentuk matriks
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Operasi baris elementer
$R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i,\quad R_i \to R_i + kR_j$

Sistem memiliki tepat satu penyelesaian; jika disubstitusikan kembali, setiap persamaan terpenuhi.

Pemeriksaan

Persamaan 1: 2x + 3y = 7 ✓
Persamaan 2: x - y = 1 ✓

Penjelasan lengkap

Eliminasi, substitusi, dan matriks

Dalam metode substitusi, satu persamaan diselesaikan untuk satu variabel, lalu hasilnya disubstitusikan ke persamaan lain. Dalam metode eliminasi, persamaan-persamaan dikalikan dengan bilangan yang sesuai lalu dijumlahkan sehingga satu variabel tereliminasi. Metode Gauss–Jordan adalah eliminasi yang diterapkan pada matriks yang diperbesar dengan urutan langkah yang tetap: pada setiap kolom dipilih satu pivot, dijadikan 1, dan semua koefisien lain pada kolom itu dijadikan nol.

Bentuk matriks bukanlah metode lain, melainkan cara penulisan yang lebih rapi. Setiap baris adalah persamaan yang ditulis tanpa nama variabel, dan setiap operasi baris adalah operasi yang dapat Anda lakukan sendiri pada persamaan. Karena perhitungannya memakai pecahan eksak, tidak ada galat pembulatan yang dapat mengubah sistem yang kurang tertentu menjadi penyelesaian tunggal palsu.

Cara mengenali sistem tanpa penyelesaian atau dengan tak hingga banyak penyelesaian

Jika selama eliminasi muncul baris berbentuk $[0\ 0 \mid 5]$ , artinya $0 = 5$ , yang mustahil: sistem tidak konsisten. Secara geometris, ini adalah garis-garis sejajar yang tidak pernah berpotongan.

Jika suatu baris seluruhnya nol, $[0\ 0 \mid 0]$ , persamaan yang bersesuaian merupakan kombinasi persamaan lainnya dan tidak membawa informasi baru. Jika banyak pivot lebih sedikit daripada banyak variabel, variabel yang tidak memiliki pivot adalah variabel bebas. Kalkulator menandainya sebagai parameter dan menyatakan variabel lain dalam parameter tersebut, sehingga seluruh garis atau bidang penyelesaian terdeskripsikan.

Sistem yang lebih besar

Tiga persamaan dengan tiga variabel diselesaikan dengan pola yang sama, hanya dengan satu kolom tambahan. Metode ini berlaku untuk sistem berukuran berapa pun; kalkulator juga menerima sistem yang banyak persamaannya lebih banyak atau lebih sedikit daripada banyak variabelnya, dan dalam setiap keadaan melaporkan hasilnya apa adanya.

Kesalahan yang sering terjadi

Saat mengalikan persamaan dengan suatu bilangan, hanya mengalikan satu ruas atau sebagian sukunya saja.
Kehilangan tanda minus saat mengurangkan satu persamaan dari persamaan lain; kurangkan semua suku, termasuk ruas kanan.
Menganggap sistem selalu memiliki tepat satu penyelesaian. Perhatikan kontradiksi dan baris nol.
Menulis variabel dengan urutan yang berbeda pada persamaan yang berbeda; ini menggeser kolom matriks.
Membulatkan pecahan di tengah perhitungan; akibatnya sistem yang konsisten bisa tampak kontradiktif.

Kiat

Sebelum mulai, susun variabel dalam urutan yang sama pada semua persamaan.
Eliminasi lebih dulu variabel yang koefisiennya paling sederhana.
Periksa penyelesaian dengan menyubstitusikannya ke semua persamaan awal, bukan hanya ke persamaan yang terakhir Anda gunakan.
Pada dua variabel, gambarlah kedua garis untuk melihat lebih dulu apakah keduanya berpotongan sekali, tidak pernah berpotongan, atau berimpit.

Pertanyaan yang sering diajukan

Berapa banyak persamaan yang diperlukan untuk tiga variabel?

Biasanya tiga persamaan yang saling bebas. Jika persamaannya lebih sedikit, tersisa variabel bebas dan tak hingga banyak penyelesaian; jika lebih banyak, persamaan tambahan harus konsisten dengan yang lain.

Apa arti pesan «Tidak ada penyelesaian»?

Selama eliminasi diperoleh kesamaan yang mustahil seperti 0 = 5. Persamaan-persamaannya saling bertentangan; pada dua variabel, garis-garisnya sejajar.

Apa itu variabel bebas?

Variabel yang tidak memiliki pivot setelah eliminasi. Variabel ini boleh bernilai berapa pun; variabel lain dinyatakan dalam variabel bebas tersebut, sehingga diperoleh tak hingga banyak penyelesaian.

Bisakah saya memasukkan persamaan yang variabelnya ada di kedua ruas?

Ya. Sebelum eliminasi, setiap persamaan diubah ke bentuk baku: suku bervariabel di ruas kiri, konstanta di ruas kanan.

Mengapa penyelesaian ditulis sebagai pecahan, bukan desimal?

Kalkulator bekerja dengan aritmetika rasional eksak, sehingga penyelesaian seperti 7/3 tetap eksak. Jika pelajaran Anda memintanya, ubah menjadi desimal hanya di langkah paling akhir.

Apakah kalkulator menyelesaikan sistem nonlinear seperti x kuadrat tambah y kuadrat sama dengan 25?

Tidak. Kalkulator ini untuk sistem linear. Untuk satu persamaan aljabar, gunakan penyelesai persamaan; titik potong kurva dapat Anda lihat pada grafik dengan penggambar grafik.

Coba penyelesai sistem persamaan

Masukkan satu persamaan per baris dan ikuti setiap operasi baris hingga penyelesaian eksak.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI