Kalkulator Determinan

Tentang kalkulator determinan

Determinan meringkas matriks persegi menjadi satu bilangan yang sekaligus menjawab beberapa pertanyaan penting. Apakah matriks itu memiliki invers? Apakah sistem persamaan linear yang diwakilinya memiliki penyelesaian tunggal? Berapa kali transformasi itu memperbesar luas atau volume, dan apakah orientasinya berubah? Semua itu dapat dibaca dari determinan.

Kalkulator mencari determinan matriks persegi berukuran wajar berapa pun. Kalkulator memilih metode seperti di buku pelajaran: perkalian silang diagonal untuk matriks $2 \times 2$ , ekspansi sepanjang baris pertama untuk matriks $3 \times 3$ , dan reduksi ke bentuk segitiga atas mulai ukuran $4 \times 4$ . Pecahan dan desimal diubah menjadi pecahan eksak; karena itu jawabannya eksak.

Apa itu determinan?

Determinan adalah bilangan $\det(A)$ , yang juga ditulis $|A|$ , yang didefinisikan untuk setiap matriks persegi. Untuk matriks $2 \times 2$ , nilainya sama dengan $ad - bc$ . Untuk matriks yang lebih besar, determinan didefinisikan secara rekursif dengan ekspansi kofaktor atau, secara setara, sebagai jumlah bertanda atas semua permutasi kolom.

Secara geometris, $|\det(A)|$ adalah faktor perbesaran luas (dalam dua dimensi) atau volume (dalam tiga dimensi) oleh transformasi linear $A$ . Determinan negatif berarti transformasi itu membalik orientasi, seperti pencerminan; determinan nol berarti ruang dimampatkan menjadi ruang berdimensi lebih rendah.

Cara menggunakan kalkulator determinan

Masukkan matriks persegi dengan memisahkan entri menggunakan spasi dan baris menggunakan titik koma, misalnya 2 -3 1; 2 0 -1; 1 4 5.
Tekan «Cari determinan».
Lihat metode yang dipilih untuk ukuran matriks Anda dan setiap nilai antaranya.
Periksa apakah determinannya nol untuk mengetahui apakah matriks itu memiliki invers.

Rumus

Determinan matriks 2×2

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Ekspansi sepanjang baris pertama

\det(A) = \sum_{j} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j}

Determinan hasil kali

\det(AB) = \det(A)\,\det(B)

Matriks segitiga

\det(U) = u_{11}\,u_{22}\cdots u_{nn}

Contoh soal dan pembahasan: Matriks 3×3

Contoh soal menghitung determinan matriks $3 \times 3$ dengan baris $(2, -3, 1)$ , $(2, 0, -1)$ , dan $(1, 4, 5)$ melalui ekspansi sepanjang baris pertama. Setiap entri baris pertama dikalikan dengan minor $2 \times 2$ -nya, yang diperoleh dengan menghapus baris dan kolom entri tersebut, dengan tanda $+$ , $-$ , $+$ .

Minor-minornya adalah 4, 11, dan 8, sehingga determinannya $2 \cdot 4 - (-3) \cdot 11 + 1 \cdot 8 = 8 + 33 + 8 = 49$ . Nilai yang tidak nol berarti matriks itu memiliki invers.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

\det A = 49

Cara kami membaca soal Anda

Tentukan determinan matriks 3×3.

\det \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}

Pembahasan langkah demi langkah

Baca matriks 3×3
$A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}$
Ekspansi sepanjang baris pertama (ekspansi kofaktor)
$\det A = (2)\begin{vmatrix}0 & -1 \\ 4 & 5\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 5\end{vmatrix} + (1)\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{vmatrix}$
Hitung setiap minor 2×2
$M_{11} = 4,\quad M_{12} = 11,\quad M_{13} = 8$
Gabungkan dengan tanda berganti-ganti + − +
$\det A = (2)(4) - (-3)(11) + (1)(8) = 49$

Rumus yang digunakan

Determinan 2×2
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
Ekspansi kofaktor
$\det A = \sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$

Determinannya 49, tidak sama dengan nol, sehingga matriksnya memiliki invers dan baris-barisnya bebas linear.

Pemeriksaan

Dihitung secara eksak dengan pecahan; reduksi baris memberikan nilai yang sama 49.

Penjelasan lengkap

Ekspansi kofaktor

Minor $M_{ij}$ adalah determinan matriks yang diperoleh dengan menghapus baris $i$ dan kolom $j$ . Kofaktor memberinya tanda $(-1)^{i+j}$ yang berselang-seling seperti papan catur, dimulai dengan $+$ di sudut kiri atas. Ekspansi sepanjang baris atau kolom mana pun memberikan hasil yang sama; karena itu, saat menghitung sendiri, lebih baik memilih baris atau kolom yang memuat banyak nol.

Ekspansi kofaktor ideal untuk matriks $3 \times 3$ , tetapi pertumbuhannya sangat cepat: ekspansi $4 \times 4$ memerlukan empat determinan $3 \times 3$ , sedangkan ekspansi $10 \times 10$ akan memerlukan jutaan suku. Itulah sebabnya kalkulator berganti metode untuk matriks besar.

Reduksi ke bentuk segitiga dengan eliminasi Gauss

Jika kelipatan suatu baris ditambahkan ke baris lain, determinannya tidak berubah; jika dua baris ditukar, tandanya berubah; jika suatu baris dikalikan dengan suatu bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan yang sama. Dengan aturan ini kalkulator menghapus entri di bawah setiap pivot hingga diperoleh matriks segitiga atas, lalu mengalikan entri-entri diagonalnya. Untuk matriks $4 \times 4$ dengan baris $(1, 0, 2, 0)$ , $(0, 3, 0, 1)$ , $(2, 0, 1, 0)$ , dan $(0, 1, 0, 2)$ diperoleh $-15$ .

Apa arti determinan nol?

Determinan nol berarti baris-barisnya bergantung linear, yaitu sedikitnya satu baris merupakan kombinasi linear baris-baris lainnya. Matriks itu tidak memiliki invers; sistem $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ tidak memiliki penyelesaian atau memiliki tak hingga banyak penyelesaian. Matriks dengan baris $(1, 2, 3)$ , $(4, 5, 6)$ , dan $(7, 8, 9)$ adalah contoh klasik; karena baris tengahnya merupakan rata-rata aritmetika kedua baris lainnya, determinannya 0.

Determinan juga muncul dalam aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem kecil, dalam polinomial karakteristik $\det(A - \lambda I) = 0$ yang akar-akarnya adalah nilai eigen, dan dalam rumus substitusi variabel pada integral lipat.

Kesalahan yang sering terjadi

Menghitung $ad + bc$ atau $ab - cd$ alih-alih $ad - bc$ .
Lupa bahwa tanda pada ekspansi kofaktor berganti-ganti.
Mengambil minor yang salah karena menghapus baris atau kolom yang keliru.
Lupa bahwa tanda berubah ketika dua baris ditukar selama operasi.
Mencoba mencari determinan matriks yang tidak persegi.

Kiat

Lakukan ekspansi sepanjang baris atau kolom yang paling banyak memuat nol.
Keluarkan lebih dulu faktor persekutuan suatu baris; determinannya ikut dikalikan dengan bilangan yang sama.
Jika dua baris sama atau sebanding, determinannya 0 tanpa perlu perhitungan lain.
Gunakan kesamaan $\det(A^{T}) = \det(A)$ untuk melakukan ekspansi sepanjang kolom jika itu lebih mudah.
Jika determinannya tidak nol dan Anda memerlukan $A^{-1}$ , gunakan kalkulator invers matriks.
Gunakan kalkulator nilai eigen, yang bertumpu pada $\det(A - \lambda I)$ .

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara mencari determinan matriks 2×2?

Kalikan entri-entri pada diagonal utama, lalu kurangkan hasil kali entri-entri pada diagonal lainnya: untuk baris (a, b) dan (c, d), determinannya ad − bc.

Bagaimana cara mencari determinan matriks 3×3?

Lakukan ekspansi sepanjang satu baris: kalikan setiap entri dengan minor 2×2-nya, beri tanda +, −, +, lalu jumlahkan. Kalkulator menampilkan setiap minor dan hasil akhirnya.

Metode apa yang dipakai untuk matriks 4×4 dan yang lebih besar?

Reduksi ke bentuk segitiga atas dengan eliminasi Gauss, lalu perkalian entri-entri diagonalnya. Untuk matriks besar, cara ini jauh lebih cepat daripada ekspansi kofaktor.

Apa artinya jika determinannya nol?

Artinya matriks itu singular: baris-barisnya bergantung linear, matriks itu tidak memiliki invers, dan sistem persamaan linear yang bersesuaian tidak memiliki penyelesaian tunggal.

Bisakah determinan bernilai negatif?

Bisa. Determinan negatif berarti transformasinya membalik orientasi. Nilai mutlaknya tetap merupakan faktor perubahan luas atau volume.

Bisakah determinan matriks yang tidak persegi dicari?

Tidak. Determinan hanya didefinisikan untuk matriks persegi; untuk matriks yang tidak persegi, kalkulator memberitahukan ukuran matriksnya.

Apakah pecahan diterima?

Ya. Pecahan dan desimal diubah menjadi pecahan eksak, sehingga determinannya diperoleh secara eksak.

Coba kalkulator determinan

Masukkan matriks persegi; dapatkan determinan eksaknya dengan metode yang sesuai dan penjelasan setiap langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI