Kalkulator Perkalian Silang

Tentang kalkulator perkalian silang

Perkalian silang mengambil dua vektor ruang dan menghasilkan vektor ketiga yang tegak lurus terhadap keduanya. Ini adalah cara baku untuk mencari vektor normal suatu bidang, menghitung luas jajaran genjang atau segitiga dalam ruang 3D, serta menggambarkan besaran rotasi dalam fisika seperti torsi dan momentum sudut.

Kalkulator mencari $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ untuk vektor ruang dengan notasi determinan yang lazim, yang baris pertamanya memuat $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ , dan $\mathbf{k}$ . Setiap komponen ditampilkan terpisah, termasuk perubahan tanda pada suku tengah yang menjadi sumber sebagian besar kesalahan; setelah itu kalkulator mencari panjangnya dan memastikan bahwa hasilnya tegak lurus terhadap kedua vektor yang diberikan.

Apa itu perkalian silang?

Untuk vektor $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ dan $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ , perkalian silangnya adalah vektor $\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$ . Operasi ini didefinisikan untuk vektor dalam ruang tiga dimensi, dan hasilnya juga vektor ruang.

Hasilnya tegak lurus terhadap $\mathbf{u}$ maupun $\mathbf{v}$ ; arahnya ditentukan oleh aturan tangan kanan: jika jari-jari tangan kanan Anda ditekuk dari $\mathbf{u}$ ke arah $\mathbf{v}$ , ibu jari Anda menunjukkan arah $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ . Panjangnya sama dengan $|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta$ , yaitu luas jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor.

Cara menggunakan kalkulator perkalian silang

Masukkan tiga komponen vektor pertama, dipisahkan dengan koma, misalnya 1, 2, 3.
Masukkan tiga komponen vektor kedua.
Tekan «Hitung».
Perhatikan komponen i, j, dan k serta vektor hasilnya.
Gunakan langkah panjang vektor untuk menghitung luas, dan pemeriksaan ketegaklurusan untuk memastikan hasilnya.

Rumus

Notasi determinan

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

Panjang

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

Sifat antikomutatif

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

Luas segitiga

A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

Contoh soal dan pembahasan: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

Contoh soal mencari perkalian silang vektor $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ dan $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ . Komponen $\mathbf{i}$ adalah $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$ , komponen $\mathbf{j}$ adalah $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6$ , dan komponen $\mathbf{k}$ adalah $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$ .

Jadi $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$ dengan panjang $\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348$ ; inilah luas jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor. Hasil kali titiknya dengan masing-masing vektor yang diberikan adalah 0, yang memastikan ketegaklurusannya.

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

Cara kami membaca soal Anda

Hasil kali silang dua vektor 3D.

\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

Pembahasan langkah demi langkah

Tulis determinan dengan vektor satuan i, j, k di baris pertama
$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
Komponen i
$(2)(6) - (3)(5) = -3$
Komponen j (perhatikan tanda minus dalam ekspansi)
$-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6$
Komponen k
$(1)(5) - (2)(4) = -3$
Panjang = luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v
$|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228$
Periksa ortogonalitas
$(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0$

Rumus yang digunakan

Hasil kali silang
$u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$
Panjang
$|u \times v| = |u||v|\sin\theta$

Hasilnya tegak lurus terhadap u dan v; panjangnya 3√6 ≈ 7.348469228 adalah luas jajaran genjang yang dibentuk keduanya (luas segitiganya setengah dari itu).

Pemeriksaan

Hasilnya tegak lurus terhadap kedua vektor masukan (kedua hasil kali titiknya 0).

Penjelasan lengkap

Metode determinan

Cara termudah mengingat rumusnya adalah menuliskan vektor-vektor satuan di baris pertama determinan $3 \times 3$ lalu mengekspansikan determinan itu sepanjang baris tersebut. Setiap komponen adalah determinan $2 \times 2$ yang dibentuk dari kolom-kolom yang bukan milik vektor satuan itu. Suku tengah mendapat tanda minus dari pola tanda kofaktor $+, -, +$ yang berselang-seling seperti papan catur; karena itu kalkulator menyorotnya secara khusus.

Perkalian silang bersifat distributif terhadap penjumlahan, $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$ ; jika salah satu vektor dikalikan dengan suatu bilangan, hasilnya juga dikalikan dengan bilangan yang sama. Namun, perkalian silang tidak asosiatif: $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}$ dan $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ umumnya merupakan vektor yang berbeda. Untuk vektor pada bidang seperti $\langle 1, 2, 0 \rangle$ dan $\langle 3, 4, 0 \rangle$ , hasil $\langle 0, 0, -2 \rangle$ mengarah lurus ke bawah sepanjang sumbu $z$ ; panjangnya, yaitu 2, adalah luas jajaran genjang pada bidang itu.

Makna geometris

Panjang perkalian silang sama dengan luas jajaran genjang bersisi $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ ; dengan demikian, setengahnya adalah luas segitiga yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut. Untuk segitiga dengan titik sudut $P$ , $Q$ , dan $R$ , cari perkalian silang vektor $\overrightarrow{PQ}$ dan $\overrightarrow{PR}$ , lalu bagi panjangnya dengan dua.

Jika kedua vektor sejajar, jajaran genjangnya menyusut menjadi ruas garis dan perkalian silangnya sama dengan vektor nol. Untuk $\langle 1, 2, 3 \rangle$ dan $\langle 2, 4, 6 \rangle$ , kalkulator memberikan $\langle 0, 0, 0 \rangle$ ; ini sekaligus menjadi pemeriksaan cepat kesejajaran.

Vektor normal, bidang, dan fisika

Perkalian silang dua vektor arah suatu bidang menghasilkan vektor normal bidang tersebut; jika satu titik pada bidang juga diketahui, persamaannya dapat ditulis sebagai $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ . Dalam grafika komputer, perhitungan yang sama menghasilkan normal permukaan untuk pencahayaan.

Dalam fisika, torsi adalah $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ , sedangkan gaya magnet pada muatan yang bergerak adalah $q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ . Dalam kedua kasus, hasilnya tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk kedua vektor, sesuai dengan aturan tangan kanan.

Kesalahan yang sering terjadi

Melupakan tanda minus pada komponen $\mathbf{j}$ .
Mengira $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ ; jika urutan faktornya ditukar, arahnya berbalik.
Menerapkan perkalian silang pada vektor bidang tanpa menambahkan komponen ketiga yang bernilai nol.
Mencampuradukkan perkalian silang dengan hasil kali titik, yang hasilnya berupa bilangan.
Lupa membagi panjang dengan dua saat mencari luas segitiga.

Kiat

Periksa jawaban dengan menghitung hasil kali titiknya dengan setiap vektor yang diberikan; kedua hasilnya harus 0.
Sebagai bantuan, hafalkan $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ , $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ , dan $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ .
Untuk vektor 2D, masukkan 0 sebagai komponen ketiga; jawabannya kemudian mengarah sepanjang sumbu $z$ .
Gunakan kalkulator hasil kali titik untuk mencari sudut antara kedua vektor.
Gunakan kalkulator determinan untuk mencari hasil kali campuran $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ sebagai determinan $3 \times 3$ .
Gambar kedua vektor dan terapkan aturan tangan kanan untuk memperkirakan tanda setiap komponen lebih dulu.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara mencari perkalian silang?

Tulis huruf i, j, dan k di baris pertama determinan 3×3, kedua vektor di baris-baris berikutnya, lalu ekspansikan determinan itu sepanjang baris pertama. Jangan lupa tanda minus pada komponen j.

Apa arti panjang perkalian silang?

Panjangnya adalah luas jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor. Setengahnya adalah luas segitiga yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut.

Apakah perkalian silang bersifat komutatif?

Tidak. Jika urutan faktornya ditukar, arahnya berbalik: v × u = −(u × v).

Bisakah perkalian silang vektor 2D dicari?

Tidak secara langsung: perkalian silang didefinisikan untuk tiga komponen. Tambahkan 0 sebagai komponen ketiga pada setiap vektor; hasilnya mengarah sepanjang sumbu z.

Apa artinya jika perkalian silang sama dengan nol?

Artinya kedua vektor sejajar (atau salah satunya vektor nol), sehingga keduanya tidak membentuk luas apa pun.

Bagaimana cara memeriksa perkalian silang?

Hitung hasil kali titiknya dengan setiap vektor awal. Karena perkalian silang tegak lurus terhadap kedua vektor yang diberikan, kedua hasilnya harus nol. Kalkulator melakukan pemeriksaan ini untuk Anda.

Bagaimana cara mencari vektor normal suatu bidang?

Ambil dua vektor tak sejajar yang terletak pada bidang itu dan cari perkalian silangnya. Hasilnya tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Coba kalkulator perkalian silang

Masukkan dua vektor 3D; dapatkan perkalian silang, panjangnya, dan pemeriksaan ketegaklurusan langkah demi langkah.

Gunakan kalkulator Tanyakan ke penyelesai AI