Aturan Kosinus

Q: Kapan aturan kosinus digunakan?

Ketika dua sisi dan sudut apitnya atau ketiga sisinya diketahui. Dalam keadaan ini tidak ada sisi yang diketahui beserta sudut di hadapannya, sehingga tidak mungkin memulai dengan aturan sinus.

Q: Bagaimana mencari sudut dengan aturan kosinus?

Susun rumusnya untuk kosinus, cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), substitusikan ketiga panjang sisi, lalu ambil arkus kosinusnya.

Q: Apa hubungan aturan kosinus dengan teorema Pythagoras?

Jika sudut C tepat 90°, nilai cos C adalah 0 dan rumusnya berubah menjadi c² = a² + b². Aturan kosinus adalah bentuk umum yang berlaku untuk setiap segitiga.

Q: Bagaimana jika tiga sisi tidak membentuk segitiga?

Kalkulator memeriksa ketaksamaan segitiga dan menampilkan galat jika suatu sisi tidak lebih kecil daripada jumlah dua sisi lainnya, misalnya untuk sisi 1, 2, dan 5.

Q: Apakah hasilnya eksak atau dibulatkan?

Jika sisi ketiga berupa akar kuadrat, sisi itu diberikan dalam bentuk eksak beserta nilai desimalnya, misalnya √39 atau 2√19. Sudut diberikan dalam derajat desimal.

Q: Bagaimana luasnya dihitung?

Dari dua sisi dan sudut apitnya dengan rumus luas = ½ab sin C. Dalam mode tiga sisi, sudutnya dihitung lebih dulu.

Q: Bisakah aturan kosinus menghasilkan dua segitiga?

Tidak. Dua sisi dan sudut apitnya, atau tiga sisi, selalu menentukan tepat satu segitiga. Kasus ambigu dengan dua kemungkinan segitiga hanya muncul saat menerapkan aturan sinus, ketika diberikan dua sisi dan sudut yang berhadapan dengan salah satunya.

Tentang kalkulator aturan kosinus

Segitiga siku-siku diselesaikan dengan teorema Pythagoras dan trigonometri dasar, tetapi kebanyakan segitiga yang dijumpai dalam geodesi, navigasi, teknik, dan fisika tidak memiliki sudut siku-siku. Aturan kosinus memperluas teorema Pythagoras ke segitiga apa pun; aturan ini adalah alat yang tepat ketika dua sisi dan sudut apitnya diketahui, atau ketika ketiga sisinya diketahui tanpa satu pun sudut.

Kalkulator menangani kedua keadaan itu. Dalam mode «Dua sisi dan sudut apit», kalkulator mencari sisi ketiga, mempertahankan bentuk akar eksak seperti $\sqrt{39}$ bila ada, lalu mencari dua sudut lainnya. Dalam mode «Tiga sisi», kalkulator memeriksa apakah sisi-sisi itu dapat membentuk segitiga dan mencari ketiga sudutnya. Dalam kedua mode, kalkulator mengakhiri perhitungan dengan menghitung luasnya.

Apa itu aturan kosinus?

Pada segitiga dengan sisi $a$ , $b$ , dan $c$ yang berturut-turut berhadapan dengan sudut $A$ , $B$ , dan $C$ , aturan kosinus menyatakan: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . Hubungan yang sama berlaku untuk setiap sisi dan sudut di hadapannya.

Jika $C = 90°$ , maka $\cos C = 0$ dan rumusnya berubah menjadi teorema Pythagoras, $c^2 = a^2 + b^2$ . Suku tambahan $-2ab\cos C$ memberikan koreksi menurut sudutnya: jika $C$ sudut lancip, sisi $c$ menjadi lebih pendek, dan jika $C$ sudut tumpul, sisi itu menjadi lebih panjang, karena kosinus sudut tumpul bernilai negatif.

Cara menggunakan kalkulator aturan kosinus

Pilih mode «Dua sisi dan sudut apit» atau «Tiga sisi».
Masukkan sisi $a$ dan $b$ .
Dalam mode dua sisi, masukkan sudut apit $C$ dalam derajat; dalam mode tiga sisi, masukkan sisi ketiga, $c$ .
Tekan «Selesaikan segitiga» untuk melihat sisi atau sudut yang belum diketahui, lalu luasnya.
Periksa jawabannya: jumlah sudutnya harus 180° dan sudut terbesar harus berhadapan dengan sisi terpanjang.

Rumus

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Rumus untuk sudut

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Jumlah sudut

A + B + C = 180^\circ

Luas dari dua sisi dan sudut

K = \tfrac12 ab\sin C

Contoh soal dan pembahasan: a = 5, b = 7, C = 60°

Pada contoh, $a = 5$ , $b = 7$ , dan sudut apitnya $C = 60°$ . Karena $\cos 60° = \frac12$ , rumusnya menghasilkan $c^2 = 25 + 49 - 35 = 39$ , yaitu $c = \sqrt{39} \approx 6.245$ .

Selanjutnya algoritma mencari sudut $A$ dengan aturan kosinus yang disusun untuk kosinusnya, yaitu kira-kira $43.898°$ , dan sudut $B$ dari jumlah sudut, yaitu kira-kira $76.102°$ . Luasnya $\frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15.155$ .

Pembahasan di bawah ini dihasilkan oleh mesin perhitungan yang sama dengan yang menjalankan kalkulator di atas.

Jawaban akhir

c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

Cara kami membaca soal Anda

S-Sd-S: tentukan sisi ketiga dan sudut-sudut lainnya

Pembahasan langkah demi langkah

Substitusikan ke c² = a² + b² − 2ab·cos C
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39$
Tarik akar kuadratnya
$c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998$
Tentukan sudut A dengan aturan kosinus yang disusun ulang
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ$
Jumlah sudut segitiga adalah 180°
$B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ$
Luas dari dua sisi dan sudut apitnya
$\text{Luas} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445$

Rumus yang digunakan

Aturan kosinus
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Diselesaikan untuk sudut
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
Luas
$\text{Luas} = \tfrac12 ab\sin C$

Segitiga ini memiliki sisi a = 5, b = 7, c ≈ 6.244998 dan sudut A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°, C ≈ 60°. Segitiga ini lancip dan sembarang, dengan luas ≈ 15.155445 dan keliling ≈ 18.244998.

Pemeriksaan

A + B + C = 180°.
Rumus Heron memberikan luas yang sama: 15.155445.
Perbandingan aturan sinus: a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

Penjelasan lengkap

Menyelesaikan segitiga dari dua sisi dan sudut apitnya

Dari dua sisi dan sudut apitnya, aturan kosinus langsung memberikan sisi ketiga. Hanya satu segitiga yang mungkin, jadi tidak ada keraguan. Setelah ketiga sisi diketahui, rumus yang disusun untuk kosinus memberikan sudut-sudutnya satu per satu. Untuk sudut kedua, kalkulator memakai aturan kosinus, bukan aturan sinus, karena rumus kosinus tidak mencampuradukkan sudut lancip dengan sudut tumpul pelurusnya.

Sudut apit yang tumpul diolah dengan cara yang sama. Untuk $a = 4$ , $b = 6$ , dan $C = 120°$ , diperoleh $\cos 120° = -\frac12$ ; karena itu $c^2 = 16 + 36 + 24 = 76$ dan $c = 2\sqrt{19} \approx 8.718$ ; sesuai dugaan, sisi ini lebih panjang daripada masing-masing sisi yang diberikan.

Menyelesaikan segitiga dari tiga sisinya

Tiga panjang hanya membentuk segitiga jika jumlah dua panjang mana pun lebih besar daripada panjang ketiga: inilah ketaksamaan segitiga. Kalkulator memeriksanya lebih dulu: sisi 1, 2, dan 5 ditolak karena $1 + 2 < 5$ . Untuk sisi yang sah, kalkulator menghitung sudut $C$ lalu sudut $A$ , keduanya dengan rumus yang disusun untuk kosinus, dan mencari sudut $B$ dari jumlah sudut. Jika Anda memasukkan sisi terpanjang sebagai $c$ , sudut pertama yang dihitung menunjukkan apakah segitiganya lancip, siku-siku, atau tumpul: sisi 3, 4, dan 5 menghasilkan $C = 90°$ .

Aturan kosinus atau aturan sinus?

Gunakan aturan kosinus jika diberikan dua sisi dan sudut apitnya atau tiga sisi, yaitu jika tidak ada pasangan «sisi dan sudut di hadapannya» yang diketahui. Gunakan aturan sinus jika diberikan satu sisi dan dua sudut, atau dua sisi dan sudut yang berhadapan dengan salah satunya, yaitu jika sedikitnya satu sisi diketahui beserta sudut di hadapannya. Keadaan terakhir itu bisa memiliki dua penyelesaian, sedangkan soal aturan kosinus tidak pernah memiliki dua penyelesaian; karena itu, jika Anda bisa memilih, lebih aman memulai dengan aturan kosinus.

Kesalahan yang sering terjadi

Dalam mode dua sisi, memakai sudut yang tidak diapit oleh kedua sisi yang diberikan.
Lupa faktor 2 pada $2ab\cos C$ .
Membiarkan kalkulator dalam mode radian padahal sudutnya diberikan dalam derajat.
Mengurangkan $2ab$ sebelum mengalikannya dengan $\cos C$ sehingga urutan operasi kacau.
Melewatkan pemeriksaan ketaksamaan segitiga lalu mendapatkan kosinus yang mustahil, yaitu lebih besar dari 1.

Kiat

Beri nama segitiga sehingga sisi yang belum diketahui adalah $c$ dan sudut yang diketahui adalah $C$ .
Sudut terbesar selalu berhadapan dengan sisi terpanjang; gunakan ini untuk memeriksa jawaban.
Pertahankan nilai eksak seperti $\sqrt{39}$ hingga langkah terakhir agar galat pembulatan tidak menumpuk.
Gunakan kalkulator lingkaran satuan untuk mencari nilai eksak kosinus sudut-sudut istimewa.
Untuk segitiga siku-siku, rumus jarak dan teorema Pythagoras lebih cepat.

Pertanyaan yang sering diajukan

Kapan aturan kosinus digunakan?